Bài tự luận · Bài 27
Dạng 1. Xác định tâm, bán kính của mặt cầu, phương trình mặt cầu
Bài tự luận Phương trình mặt cầu · Bài 27
(CD12) Cho mặt cầu $ (S) $ có tâm $ O(0;0;0) $ và bán kính 2.
a) Lập phương trình mặt cầu $ (S) $.
b) Lấy các điểm $ A(1;0;-1) $ và $ B(1;1;0) $. Lập phương trình đường thẳng $ AB $. Tìm toạ độ các điểm $ C $ và $ D $ là giao điểm của đường thẳng $ AB $ và mặt cầu $ (S) $.
a) Lập phương trình mặt cầu $ (S) $.
b) Lấy các điểm $ A(1;0;-1) $ và $ B(1;1;0) $. Lập phương trình đường thẳng $ AB $. Tìm toạ độ các điểm $ C $ và $ D $ là giao điểm của đường thẳng $ AB $ và mặt cầu $ (S) $.
Xem lời giải
Lời giải
a) Phương trình mặt cầu $ (S) $ là: $ x ^ { 2 } +y ^ { 2 } +z ^ { 2 } =4 $.
b) Phương trình đường thẳng $ AB $ là: $ \left \{ \begin{array}{l} x=1 \\ y=t \\ z=-1+t \end{array} \right. $ ($ t $ là tham số).
Toạ độ giao điểm của đường thẳng $ AB $ và mặt cầu $ (S) $ tương ứng với tham số $ t $ thoả mãn: $ 1 ^ { 2 } +t ^ { 2 } +(-1+t) ^ { 2 } =4\Leftrightarrow t=\frac { 1+\sqrt[] { 5 } } { 2 } $ hoặc $ t=\frac { 1-\sqrt[] { 5 } } { 2 } $.
Vậy $ C\left ( { 1;\frac { 1+\sqrt[] { 5 } } { 2 };\frac { -1+\sqrt[] { 5 } } { 2 } } \right ),D\left ( { 1;\frac { 1-\sqrt[] { 5 } } { 2 };\frac { -1-\sqrt[] { 5 } } { 2 } } \right ) $.
b) Phương trình đường thẳng $ AB $ là: $ \left \{ \begin{array}{l} x=1 \\ y=t \\ z=-1+t \end{array} \right. $ ($ t $ là tham số).
Toạ độ giao điểm của đường thẳng $ AB $ và mặt cầu $ (S) $ tương ứng với tham số $ t $ thoả mãn: $ 1 ^ { 2 } +t ^ { 2 } +(-1+t) ^ { 2 } =4\Leftrightarrow t=\frac { 1+\sqrt[] { 5 } } { 2 } $ hoặc $ t=\frac { 1-\sqrt[] { 5 } } { 2 } $.
Vậy $ C\left ( { 1;\frac { 1+\sqrt[] { 5 } } { 2 };\frac { -1+\sqrt[] { 5 } } { 2 } } \right ),D\left ( { 1;\frac { 1-\sqrt[] { 5 } } { 2 };\frac { -1-\sqrt[] { 5 } } { 2 } } \right ) $.