(CD12) Hệ thống định vị toàn cầu (tên tiếng Anh là: Global Positioning System, viết tắt là GPS) là một hệ thống cho phép xác định chính xác vị trí của một vật thể trong không gian (Hình).
Ta có thể mô phỏng cơ chế hoạt động của hệ thống GPS trong không gian như sau: Trong cùng một thời điểm, toạ độ của một điểm $M$ trong không gian sẽ được xác định bởi bốn vệ tinh cho trước, trên mỗi vệ tinh có một máy thu tín hiệu. Bằng cách so sánh sự sai lệch về thời gian từ lúc tín hiệu được phát đi với thời gian nhận phản hồi tín hiệu đó, mỗi máy thu tín hiệu xác định được khoảng cách từ vệ tinh đến vị trí $M$ cần tìm toạ độ. Như vậy, điểm $M$ là giao điểm của bốn mặt cầu với tâm lần lượt là bốn vệ tinh đã cho.
Giả sử trong không gian với hệ toạ độ $Oxyz$, cho bốn vệ tinh $A(3;-1;6)$, $B(1;4;8),C(7;9;6),D(7;-15;18)$. Tìm toạ độ của điểm $M$ trong không gian, biết khoảng cách từ các vệ tinh đến điểm $M$ lần lượt là $MA=6,MB=7,MC=12$, $MD=24$.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi tọa độ của $M$ là $(a;b;c)$. Khi đó, các số $a,b,c$ thoả mãn các phương trình:
$\begin{aligned}(a-3)^2+(b+1)^2+(c-6)^2=6^2&\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-6a+2b-12c+10=0&&\quad(1)\\(a-1)^2+(b-4)^2+(c-8)^2=7^2&\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-2a-8b-16c+32=0&&\quad(2)\\(a-7)^2+(b-9)^2+(c-6)^2=12^2&\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-14a-18b-12c+22=0&&\quad(3)\\(a-7)^2+(b+15)^2+(c-18)^2=24^2&\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-14a+30b-36c+22=0&&\quad(4)\end{aligned}$
Trừ tương ứng theo từng vế của (4) cho $(3),(3)$ cho $(1),(2)$ cho $(1)$, ta có:
$\begin{aligned}48b-24c=0&\Leftrightarrow c=2b&&\quad(5)\\-8a-20b+12=0&\Leftrightarrow a=\dfrac{-5b+3}{2}&&\quad(6)\\4a-10b-4c+22&=0&&\quad(7)\end{aligned}$
Thế (5) và (6) vào (7), ta có: $-10b+6-10b-8b+22=0\Leftrightarrow b=1$.
Suy ra $a=-1,c=2$. Vậy $M(-1;1;2)$.
