Bài tập nâng cao · Bài 17
Bài tập nâng cao Hàm số hữu tỉ · Bài 17
Cho hàm số $y=\frac{3x+2}{x+2}$, $(C)$ và đường thẳng $d:y=ax+2b-4$. Đường thẳng $d$ cắt $(C)$ tại $A$, $B$ đối xứng nhau qua gốc tọa độ $O$, khi đó $T=a+b$ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Xét phương trình hoành độ: $\frac{3x+2}{x+2}=ax+2b-4;\ x\neq-2$.
$\Leftrightarrow ax^2+(2a+2b-7)x+4b-10=0\ (*)$.
Đường thẳng $d$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A$, $B$ khi phương trình $(*)$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a\neq0\\(2a+2b-7)^2-4a(4b-10)>0\\4\neq0\end{array}\right.\ (2*)$.
Gọi $A(x_1;ax_1+2b-4)$; $B(x_2;ax_2+2b-4)$.
Do $A$, $B$ đối xứng nhau qua gốc $O$ nên $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2=0\\4b-8=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2=0\\b=2\end{array}\right.$.
Theo Viét của phương trình $(*)$ ta có $x_1+x_2=\frac{7-2a-2b}{a}$.
$\Rightarrow\frac{7-2a-2b}{a}=0\Leftrightarrow7-2a-2b=0\Rightarrow a=\frac32$.
Thay $\left\{\begin{array}{l}a=\frac32\\b=2\end{array}\right.$ vào điều kiện $(2*)$ thấy thỏa mãn.
Vậy $a+b=\frac72$.
$\Leftrightarrow ax^2+(2a+2b-7)x+4b-10=0\ (*)$.
Đường thẳng $d$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A$, $B$ khi phương trình $(*)$ có hai nghiệm phân biệt $\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}a\neq0\\(2a+2b-7)^2-4a(4b-10)>0\\4\neq0\end{array}\right.\ (2*)$.
Gọi $A(x_1;ax_1+2b-4)$; $B(x_2;ax_2+2b-4)$.
Do $A$, $B$ đối xứng nhau qua gốc $O$ nên $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2=0\\4b-8=0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2=0\\b=2\end{array}\right.$.
Theo Viét của phương trình $(*)$ ta có $x_1+x_2=\frac{7-2a-2b}{a}$.
$\Rightarrow\frac{7-2a-2b}{a}=0\Leftrightarrow7-2a-2b=0\Rightarrow a=\frac32$.
Thay $\left\{\begin{array}{l}a=\frac32\\b=2\end{array}\right.$ vào điều kiện $(2*)$ thấy thỏa mãn.
Vậy $a+b=\frac72$.