Bài tập nâng cao · Bài 18
Bài tập nâng cao Hàm số hữu tỉ · Bài 18
Tìm giá trị thực của tham số $m$ để đường thẳng $d:y=-3x+m$ cắt đồ thị hàm số $y=\frac{2x+1}{x-1}$ tại hai điểm phân biệt $A$, $B$ sao cho trọng tâm $\Delta OAB$ thuộc đường thẳng $\Delta:x-2y-2=0$, với $O$ là gốc tọa độ.
Xem lời giải
Lời giải
Hoành độ hai điểm $A$, $B$ là nghiệm của phương trình $-3x+m=\frac{2x+1}{x-1}$
$\Leftrightarrow(-3x+m)(x-1)=2x+1$ (vì $x=1$ không phải là nghiệm của phương trình).
$\Leftrightarrow3x^2-(m+1)x+m+1=0$ $(*)$.
Điều kiện: $\Delta>0$ $\Leftrightarrow(m+1)^2-4\cdot3(m+1)>0$ $\Leftrightarrow(m+1)(m-11)>0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m<-1\\m>11\end{array}\right.$.
Khi đó phương trình $(*)$ có hai nghiệm phân biệt $x_A$, $x_B$ thỏa mãn $x_A+x_B=\frac{m+1}{3}$.
Gọi $A(x_A;-3x_A+m)$, $B(x_B;-3x_B+m)$ thì trọng tâm của tam giác $OAB$ là $G\left(\frac{x_A+x_B}{3};\frac{-3(x_A+x_B)+2m}{3}\right)$ hay $G\left(\frac{m+1}{9};\frac{m-1}{3}\right)$.
$G\in\Delta$ $\Leftrightarrow$ $\frac{m+1}{9}-2\cdot\frac{m-1}{3}-2=0$ $\Leftrightarrow$ $m=-\frac{11}{5}$.
$\Leftrightarrow(-3x+m)(x-1)=2x+1$ (vì $x=1$ không phải là nghiệm của phương trình).
$\Leftrightarrow3x^2-(m+1)x+m+1=0$ $(*)$.
Điều kiện: $\Delta>0$ $\Leftrightarrow(m+1)^2-4\cdot3(m+1)>0$ $\Leftrightarrow(m+1)(m-11)>0\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m<-1\\m>11\end{array}\right.$.
Khi đó phương trình $(*)$ có hai nghiệm phân biệt $x_A$, $x_B$ thỏa mãn $x_A+x_B=\frac{m+1}{3}$.
Gọi $A(x_A;-3x_A+m)$, $B(x_B;-3x_B+m)$ thì trọng tâm của tam giác $OAB$ là $G\left(\frac{x_A+x_B}{3};\frac{-3(x_A+x_B)+2m}{3}\right)$ hay $G\left(\frac{m+1}{9};\frac{m-1}{3}\right)$.
$G\in\Delta$ $\Leftrightarrow$ $\frac{m+1}{9}-2\cdot\frac{m-1}{3}-2=0$ $\Leftrightarrow$ $m=-\frac{11}{5}$.