Bài tập nâng cao · Bài 19
Bài tập nâng cao Hàm số hữu tỉ · Bài 19
(Đại học Hồng Đức –Thanh Hóa 2019) Có bao nhiêu số nguyên dương $m$ sao cho đường thẳng $y=x+m$ cắt đồ thị hàm số $y=\frac{2x-1}{x+1}$ tại hai điểm phân biệt $M$, $N$ sao cho $MN\leq10$.
Xem lời giải
Lời giải
Điều kiện xác định của hàm số: $x\neq-1$.
Phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{2x-1}{x+1}=x+m\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x^2+(m-1)x+m+1=0\\x\neq-1\end{array}\right.$.
Đường thẳng $y=x+m$ cắt đồ thị hàm số $y=\frac{2x-1}{x+1}$ tại hai điểm phân biệt $M$, $N$ khi và chỉ khi phương trình $x^2+(m-1)x+m+1=0$ có hai nghiệm phân biệt khác $-1$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\Delta>0\\x\neq-1\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m^2-6m-3>0\\3\neq0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m<3-2\sqrt3\\m>3+2\sqrt3\end{array}\right.\quad(*)$.
Gọi $M(x_1;x_1+m)$, $N(x_2;x_2+m)$ là tọa độ giao điểm đường thẳng $y=x+m$ và đồ thị hàm số $y=\frac{2x-1}{x+1}$.
Theo bài cho $MN\leq10\Leftrightarrow\sqrt{2(x_2-x_1)^2}\leq10\Leftrightarrow(x_1+x_2)^2-4x_1x_2\leq50$.
Áp dụng định lí Viét cho phương trình $x^2+(m-1)x+m+1=0$ ta có: $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2=1-m\\x_1x_2=m+1\end{array}\right.$.
Ta có $MN\leq10\Leftrightarrow(x_1+x_2)^2-4x_1x_2\leq50\Leftrightarrow m^2-6m-53\leq0\Leftrightarrow3-\sqrt{62}\leq m\leq3+\sqrt{62}$.
Kết hợp với $(*)$ thì $m\in(3-\sqrt{62};3-2\sqrt3)\cup(3+2\sqrt3;3+\sqrt{62})$.
Các số nguyên dương $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là $m\in\{7,8,9,10\}$.
Phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{2x-1}{x+1}=x+m\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}x^2+(m-1)x+m+1=0\\x\neq-1\end{array}\right.$.
Đường thẳng $y=x+m$ cắt đồ thị hàm số $y=\frac{2x-1}{x+1}$ tại hai điểm phân biệt $M$, $N$ khi và chỉ khi phương trình $x^2+(m-1)x+m+1=0$ có hai nghiệm phân biệt khác $-1$
$\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}\Delta>0\\x\neq-1\end{array}\right.\Leftrightarrow\left\{\begin{array}{l}m^2-6m-3>0\\3\neq0\end{array}\right.\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m<3-2\sqrt3\\m>3+2\sqrt3\end{array}\right.\quad(*)$.
Gọi $M(x_1;x_1+m)$, $N(x_2;x_2+m)$ là tọa độ giao điểm đường thẳng $y=x+m$ và đồ thị hàm số $y=\frac{2x-1}{x+1}$.
Theo bài cho $MN\leq10\Leftrightarrow\sqrt{2(x_2-x_1)^2}\leq10\Leftrightarrow(x_1+x_2)^2-4x_1x_2\leq50$.
Áp dụng định lí Viét cho phương trình $x^2+(m-1)x+m+1=0$ ta có: $\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2=1-m\\x_1x_2=m+1\end{array}\right.$.
Ta có $MN\leq10\Leftrightarrow(x_1+x_2)^2-4x_1x_2\leq50\Leftrightarrow m^2-6m-53\leq0\Leftrightarrow3-\sqrt{62}\leq m\leq3+\sqrt{62}$.
Kết hợp với $(*)$ thì $m\in(3-\sqrt{62};3-2\sqrt3)\cup(3+2\sqrt3;3+\sqrt{62})$.
Các số nguyên dương $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán là $m\in\{7,8,9,10\}$.