Bài tập nâng cao · Bài 20
Bài tập nâng cao Hàm số hữu tỉ · Bài 20
(Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị 2019) Gọi $M(a;b)$ là điểm trên đồ thị hàm số $y=\frac{x-2}{x}$ sao cho khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $d:y=2x+6$ nhỏ nhất. Tính $(4a+5)^2+(2b-7)^2$.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $(C)$ là đồ thị hàm số $y=\frac{x-2}{x}$.
Phương trình hoành độ giao điểm của $(C)$ và đường thẳng $d$ là: $\frac{x-2}{x}=2x+6$ $\Leftrightarrow2x^2+5x+2=0\ (x\neq0)$ $\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=-2\\x=-\frac12\end{array}\right.$.
Suy ra đường thẳng $d$ cắt đồ thị $(C)$ tại hai điểm phân biệt $M_1(-2;2)$, $M_2\left(-\frac12;5\right)$.
Ta có $d(M;d)\geq0,\ \forall M$ $\Rightarrow\min d(M;d)=0$ khi $M\in d$.
Mà $M\in(C)$ $\Rightarrow M=d\cap(C)$ $\Rightarrow\left[\begin{array}{l}M(-2;2)\\M\left(-\frac12;5\right)\end{array}\right.$.
Với $M(-2;2)$ $\Rightarrow a=-2,b=2\Rightarrow(4a+5)^2+(2b-7)^2=18$.
Với $M\left(-\frac12;5\right)$ $\Rightarrow a=-\frac12,b=5\Rightarrow(4a+5)^2+(2b-7)^2=18$.
Phương trình hoành độ giao điểm của $(C)$ và đường thẳng $d$ là: $\frac{x-2}{x}=2x+6$ $\Leftrightarrow2x^2+5x+2=0\ (x\neq0)$ $\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}x=-2\\x=-\frac12\end{array}\right.$.
Suy ra đường thẳng $d$ cắt đồ thị $(C)$ tại hai điểm phân biệt $M_1(-2;2)$, $M_2\left(-\frac12;5\right)$.
Ta có $d(M;d)\geq0,\ \forall M$ $\Rightarrow\min d(M;d)=0$ khi $M\in d$.
Mà $M\in(C)$ $\Rightarrow M=d\cap(C)$ $\Rightarrow\left[\begin{array}{l}M(-2;2)\\M\left(-\frac12;5\right)\end{array}\right.$.
Với $M(-2;2)$ $\Rightarrow a=-2,b=2\Rightarrow(4a+5)^2+(2b-7)^2=18$.
Với $M\left(-\frac12;5\right)$ $\Rightarrow a=-\frac12,b=5\Rightarrow(4a+5)^2+(2b-7)^2=18$.