Bài tập nâng cao · Bài 16
Bài tập nâng cao Hàm số hữu tỉ · Bài 16
Giả sử $m=-\frac{b}{a}$, $a,b\in\mathbb{Z}^{+}$, $(a,b)=1$ là giá trị thực của tham số $m$ để đường thẳng $d:y=-3x+m$ cắt đồ thị hàm số $y=\frac{2x+1}{x-1}$ $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A$, $B$ sao cho trọng tâm tam giác $OAB$ thuộc đường thẳng $\Delta:x-2y-2=0$, với $O$ là gốc toạ độ. Tính $a+2b$.
Xem lời giải
Lời giải
Phương trình hoành độ giao điểm: $\frac{2x+1}{x-1}=-3x+m$, $x\neq 1$.
$\Rightarrow 3x^2-(m+1)x+m+1=0$ $(*)$.
Để $(C)$ cắt $d$ tại hai điểm phân biệt thì $(*)$ phải có hai nghiệm phân biệt khác 1. Suy ra $\left\{\begin{array}{l}(m+1)^2-12(m+1)>0\\3\cdot1^2-(m+1)\cdot1+(m+1)\neq0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}m+1<0\\m+1>12\end{array}\right.$ $\Rightarrow\left[\begin{array}{l}m<-1\\m>11\end{array}\right.$.
Khi đó $A(x_1;-3x_1+m)$, $B(x_2;-3x_2+m)$, với $x_1$ và $x_2$ là nghiệm của phương trình $(*)$ đồng thời thoả mãn $x_1+x_2=\frac{m+1}{3}$.
Gọi $G$ là trọng tâm của $\Delta OAB$, ta có $G\left(\frac{m+1}{9};\frac{m-1}{3}\right)$.
Mà $G\in\Delta$ nên $\frac{m+1}{9}-2\frac{m-1}{3}-2=0\Rightarrow m=-\frac{11}{5}$. Suy ra $\left\{\begin{array}{l}a=11\\b=5\end{array}\right.$.
Vậy $a+2b=21$.
$\Rightarrow 3x^2-(m+1)x+m+1=0$ $(*)$.
Để $(C)$ cắt $d$ tại hai điểm phân biệt thì $(*)$ phải có hai nghiệm phân biệt khác 1. Suy ra $\left\{\begin{array}{l}(m+1)^2-12(m+1)>0\\3\cdot1^2-(m+1)\cdot1+(m+1)\neq0\end{array}\right.\Rightarrow\left[\begin{array}{l}m+1<0\\m+1>12\end{array}\right.$ $\Rightarrow\left[\begin{array}{l}m<-1\\m>11\end{array}\right.$.
Khi đó $A(x_1;-3x_1+m)$, $B(x_2;-3x_2+m)$, với $x_1$ và $x_2$ là nghiệm của phương trình $(*)$ đồng thời thoả mãn $x_1+x_2=\frac{m+1}{3}$.
Gọi $G$ là trọng tâm của $\Delta OAB$, ta có $G\left(\frac{m+1}{9};\frac{m-1}{3}\right)$.
Mà $G\in\Delta$ nên $\frac{m+1}{9}-2\frac{m-1}{3}-2=0\Rightarrow m=-\frac{11}{5}$. Suy ra $\left\{\begin{array}{l}a=11\\b=5\end{array}\right.$.
Vậy $a+2b=21$.