Bài tập nâng cao · Bài 15
Bài tập nâng cao Hàm số hữu tỉ · Bài 15
(Sở Nam Định 2019) Cho hàm số $y=\frac{3x-2m}{mx+1}$ với $m$ là tham số. Biết rằng với mọi $m\neq0$, đồ thị hàm số luôn cắt đường thẳng $d:y=3x-3m$ tại hai điểm phân biệt $A$, $B$. Tích tất cả các giá trị của $m$ tìm được để đường thẳng $d$ cắt các trục $Ox$, $Oy$ lần lượt tại $C$, $D$ sao cho diện tích $\triangle OAB$ bằng 2 lần diện tích $\triangle OCD$ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Với $m\neq0$, xét phương trình $\frac{3x-2m}{mx+1}=3x-3m\Leftrightarrow3x^2-3mx-1=0$. (*)
Gọi tọa độ các giao điểm của $d$ với đồ thị hàm số đã cho là: $A(x_1;3x_1-3m)$, $B(x_2;3x_2-3m)$.
Tọa độ các điểm $C$, $D$ là $C(m;0)$ và $D(0;-3m)$.
Gọi $h=d_{(O,d)}$ thì $h$ là chiều cao của các tam giác $OAB$ và $OCD$.
Theo giả thiết: $S_{\triangle OAB}=2S_{\triangle OCD}\Leftrightarrow \frac{1}{2}AB\cdot h=2\cdot\frac{1}{2}CD\cdot h\Leftrightarrow AB=2CD\Leftrightarrow AB^2=4CD^2$
$\Leftrightarrow(x_1-x_2)^2+[3(x_1-x_2)]^2=4[m^2+(-3m)^2]$
$\Leftrightarrow10(x_1-x_2)^2=40m^2\Leftrightarrow(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=4m^2$
$\Leftrightarrow m^2+\frac{4}{3}=4m^2\Leftrightarrow m^2=\frac{4}{9}\Leftrightarrow m=\pm\frac{2}{3}$.
Vậy tích các giá trị của $m$ là $-\frac{4}{9}$.
Gọi tọa độ các giao điểm của $d$ với đồ thị hàm số đã cho là: $A(x_1;3x_1-3m)$, $B(x_2;3x_2-3m)$.
Tọa độ các điểm $C$, $D$ là $C(m;0)$ và $D(0;-3m)$.
Gọi $h=d_{(O,d)}$ thì $h$ là chiều cao của các tam giác $OAB$ và $OCD$.
Theo giả thiết: $S_{\triangle OAB}=2S_{\triangle OCD}\Leftrightarrow \frac{1}{2}AB\cdot h=2\cdot\frac{1}{2}CD\cdot h\Leftrightarrow AB=2CD\Leftrightarrow AB^2=4CD^2$
$\Leftrightarrow(x_1-x_2)^2+[3(x_1-x_2)]^2=4[m^2+(-3m)^2]$
$\Leftrightarrow10(x_1-x_2)^2=40m^2\Leftrightarrow(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=4m^2$
$\Leftrightarrow m^2+\frac{4}{3}=4m^2\Leftrightarrow m^2=\frac{4}{9}\Leftrightarrow m=\pm\frac{2}{3}$.
Vậy tích các giá trị của $m$ là $-\frac{4}{9}$.