Bài tập nâng cao · Bài 14
Bài tập nâng cao Hàm số hữu tỉ · Bài 14
(Sở Cần Thơ 2019) Cho hàm số $y=\frac{x+3}{x+1}$ có đồ thị $(C)$ và đường thẳng $d:y=x-m$, với $m$ là tham số thực. Biết rằng đường thẳng $d$ cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ sao cho điểm $G(2;-2)$ là trọng tâm của tam giác $OAB$ ($O$ là gốc toạ độ). Giá trị của $m$ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Hàm số $y=\frac{x+3}{x+1}$ có $y'=\frac{-2}{(x+1)^2}<0$, $\forall x\in D$ và đường thẳng $d:y=x-m$ có hệ số $a=1>0$ nên $d$ luôn cắt $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A(x_A;y_A)$ và $B(x_B;y_B)$ với mọi giá trị của tham số $m$.
Phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $(C)$ là: $\frac{x+3}{x+1}=x-m$
$\Leftrightarrow x^2-mx-m-3=0$ $(x\neq-1)$.
Suy ra $x_A$, $x_B$ là 2 nghiệm của phương trình $x^2-mx-m-3=0$.
Theo định lí Viet, ta có $x_A+x_B=m$.
Mặt khác, $G(2;-2)$ là trọng tâm của tam giác $OAB$ nên $x_A+x_B+x_O=3x_G$
$\Leftrightarrow x_A+x_B=6$
$\Leftrightarrow m=6$.
Vậy $m=6$ thoả mãn yêu cầu đề bài.
Phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $(C)$ là: $\frac{x+3}{x+1}=x-m$
$\Leftrightarrow x^2-mx-m-3=0$ $(x\neq-1)$.
Suy ra $x_A$, $x_B$ là 2 nghiệm của phương trình $x^2-mx-m-3=0$.
Theo định lí Viet, ta có $x_A+x_B=m$.
Mặt khác, $G(2;-2)$ là trọng tâm của tam giác $OAB$ nên $x_A+x_B+x_O=3x_G$
$\Leftrightarrow x_A+x_B=6$
$\Leftrightarrow m=6$.
Vậy $m=6$ thoả mãn yêu cầu đề bài.