Bài tập nâng cao · Bài 13
Bài tập nâng cao Hàm số hữu tỉ · Bài 13
(Chuyên Nguyễn Du ĐăkLăk 2019) Cho hàm số $y=\frac{x}{x-1}$ $(C)$ và đường thẳng $d:y=-x+m$. Gọi $S$ là tập các số thực $m$ để đường thẳng $d$ cắt đồ thị $(C)$ tại hai điểm phân biệt $A,B$ sao cho tam giác $OAB$ ($O$ là gốc tọa độ) có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng $2\sqrt{2}$. Tổng các phần tử của $S$ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Xét phương trình $\frac{x}{x-1}=-x+m$ (điều kiện $x\neq1$).
Phương trình tương đương $x^2-mx+m=0$ $(1)$.
Đồ thị $(C)$ và đường thẳng $d$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ khi và chỉ khi phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt $x\neq1$, điều kiện cần và đủ là $m<0\lor m>4$.
Khi đó hai giao điểm là $A(x_1;-x_1+m)$; $B(x_2;-x_2+m)$.
Ta có $OA=\sqrt{m^2-2m};OB=\sqrt{m^2-2m};AB=\sqrt{2(m^2-4m)}$; $d(O,d)=\frac{|m|}{\sqrt{2}}$.
$S_{\triangle OAB}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot d(O,d)=\frac{1}{2}\cdot\frac{|m|}{\sqrt{2}}\cdot\sqrt{2(m^2-4m)}=\frac{OA\cdot OB\cdot AB}{4R}$.
Suy ra $\frac{1}{2}\cdot\frac{|m|}{\sqrt{2}}\sqrt{2(m^2-4m)}=\frac{(m^2-2m)\sqrt{2(m^2-4m)}}{4\cdot2\sqrt{2}}$
$\Leftrightarrow m^2-2m=4|m|\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m=0\quad(l) \\ m=6\quad(n) \\ m=-2\quad(n) \end{array} \right.$.
Vậy tổng các phần tử của $S$ bằng $4$.
Phương trình tương đương $x^2-mx+m=0$ $(1)$.
Đồ thị $(C)$ và đường thẳng $d$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A$ và $B$ khi và chỉ khi phương trình $(1)$ có hai nghiệm phân biệt $x\neq1$, điều kiện cần và đủ là $m<0\lor m>4$.
Khi đó hai giao điểm là $A(x_1;-x_1+m)$; $B(x_2;-x_2+m)$.
Ta có $OA=\sqrt{m^2-2m};OB=\sqrt{m^2-2m};AB=\sqrt{2(m^2-4m)}$; $d(O,d)=\frac{|m|}{\sqrt{2}}$.
$S_{\triangle OAB}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot d(O,d)=\frac{1}{2}\cdot\frac{|m|}{\sqrt{2}}\cdot\sqrt{2(m^2-4m)}=\frac{OA\cdot OB\cdot AB}{4R}$.
Suy ra $\frac{1}{2}\cdot\frac{|m|}{\sqrt{2}}\sqrt{2(m^2-4m)}=\frac{(m^2-2m)\sqrt{2(m^2-4m)}}{4\cdot2\sqrt{2}}$
$\Leftrightarrow m^2-2m=4|m|\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m=0\quad(l) \\ m=6\quad(n) \\ m=-2\quad(n) \end{array} \right.$.
Vậy tổng các phần tử của $S$ bằng $4$.