Bài tập nâng cao · Bài 12
Bài tập nâng cao Hàm số hữu tỉ · Bài 12
(Sở Ninh Bình 2020) Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên thuộc đoạn $[-2020;2020]$ của tham số $m$ để đường thẳng $y=x+m$ cắt đồ thị hàm số $y=\frac{2x-3}{x-1}$ tại hai điểm phân biệt?
Xem lời giải
Lời giải
Ta có phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng $y=x+m$ và đường cong $y=\frac{2x-3}{x-1}$
$x+m=\frac{2x-3}{x-1}\Leftrightarrow(x+m)(x-1)=2x-3$ $(x\neq1)$.
$\Leftrightarrow x^2+mx-x-m=2x-3\Leftrightarrow x^2+(m-3)x-m+3=0$ $(*)$
Ta có $\Delta=(m-3)^2-4(-m+3)=m^2-6m+9+4m-12=m^2-2m-3$.
Để đường thẳng $y=x+m$ cắt đồ thị hàm số $y=\frac{2x-3}{x-1}$ tại hai điểm phân biệt thì phương trình $(*)$ có hai nghiệm phân biệt khác $1$.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta>0 \\ 1^2+(m-3)\cdot1-m+3\neq0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m^2-2m-3>0 \\ 1\neq0\quad(\text{lđ}) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m<-1 \\ m>3 \end{array} \right.$.
Theo giả thiết: $-2020\leq m\leq2020$ và $\left[ \begin{array}{l} m<-1 \\ m>3 \end{array} \right.$ nên $\left[ \begin{array}{l} -2020\leq m<-1 \\ 3<m\leq2020 \end{array} \right.$.
Vì $m\in\mathbb{Z}$ và $-2020\leq m<-1$, suy ra có $\frac{-2-(-2020)}{1}+1=2019$ giá trị nguyên $m$.
Vì $m\in\mathbb{Z}$ và $3<m\leq2020$, suy ra có $\frac{2020-4}{1}+1=2017$ giá trị nguyên $m$.
Tóm lại có tất cả $2019+2017=4036$ giá trị nguyên của tham số $m$.
$x+m=\frac{2x-3}{x-1}\Leftrightarrow(x+m)(x-1)=2x-3$ $(x\neq1)$.
$\Leftrightarrow x^2+mx-x-m=2x-3\Leftrightarrow x^2+(m-3)x-m+3=0$ $(*)$
Ta có $\Delta=(m-3)^2-4(-m+3)=m^2-6m+9+4m-12=m^2-2m-3$.
Để đường thẳng $y=x+m$ cắt đồ thị hàm số $y=\frac{2x-3}{x-1}$ tại hai điểm phân biệt thì phương trình $(*)$ có hai nghiệm phân biệt khác $1$.
$\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \Delta>0 \\ 1^2+(m-3)\cdot1-m+3\neq0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m^2-2m-3>0 \\ 1\neq0\quad(\text{lđ}) \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} m<-1 \\ m>3 \end{array} \right.$.
Theo giả thiết: $-2020\leq m\leq2020$ và $\left[ \begin{array}{l} m<-1 \\ m>3 \end{array} \right.$ nên $\left[ \begin{array}{l} -2020\leq m<-1 \\ 3<m\leq2020 \end{array} \right.$.
Vì $m\in\mathbb{Z}$ và $-2020\leq m<-1$, suy ra có $\frac{-2-(-2020)}{1}+1=2019$ giá trị nguyên $m$.
Vì $m\in\mathbb{Z}$ và $3<m\leq2020$, suy ra có $\frac{2020-4}{1}+1=2017$ giá trị nguyên $m$.
Tóm lại có tất cả $2019+2017=4036$ giá trị nguyên của tham số $m$.