(KNTT12) Cho $ F(u) $ là một nguyên hàm của hàm số $ f(u) $ trên khoảng $ K $ và $ u(x),x\in J $ , là hàm số có đạo hàm liên tục, $ u(x)\in K $ với mọi $ x\in J $ . Tìm $ \int { f }(u(x))\cdot u ^ { ′ } (x)dx $ Áp dụng: Tìm $ \int { (2x+1) ^ { 5 } }dx $ và $ \int { \frac { 1 } { \sqrt[] { 2x+1 } } }dx $ .

Question

Dạng 1. Tìm nguyên hàm của một hàm số Phương pháp: Sủ dụng công thức $ \int { F ^ { ′ } }(x)dx=F(x)+C $ với $ F(x) $ là hàm số có đạo hàm liên tục và các tính chất của nguyên hàm. (KNTT12) Cho $ F(u) $ là một nguyên hàm của hàm số $ f(u) $ trên khoảng $ K $ và $ u(x),x\in J $ , là hàm số có đạo hàm liên tục, $ u(x)\in K $ với mọi $ x\in J $ . Tìm $ \int { f }(u(x))\cdot u ^ { ′ } (x)dx $ Áp dụng: Tìm $ \int { (2x+1) ^ { 5 } }dx $ và $ \int { \frac { 1 } { \sqrt[] { 2x+1 } } }dx $ .

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: Ta có: $ F ^ { ′ } (u)=f(u),\forall u\in K $ Do đó: $ F(u(x)) ^ { ′ } =F ^ { ′ } (u(x))\cdot u ^ { ′ } (x)=f(u(x))\cdot u ^ { ′ } (x){ \rm{ , } }{ \rm{ } }\forall { \rm{ } }x\in J{ \rm{ . } }{ \rm{ } } $ Vậy $ \int { f }(u(x))\cdot u ^ { ′ } (x)dx=F(u(x))+C $ . Áp dụng: $ \int(2x+1)^5\,dx=\int(2x+1)^5\frac{(2x+1)′}{2}\,dx=\frac12\cdot\frac{(2x+1)^6}{6}+C=\frac{(2x+1)^6}{12}+C $ $ \int\frac{dx}{\sqrt{2x+1}}=\int\frac{1}{\sqrt{2x+1}}\cdot\frac{(2x+1)′}{2}\,dx=\int\frac{1}{2\sqrt{2x+1}}(2x+1)′\,dx=\sqrt{2x+1}+C $

Bài tự luận Nguyên hàm · Bài 27