Bài tập nâng cao · Bài 66
6. BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài tập nâng cao Phương trình lượng giác cơ bản · Bài 66
Giải phương trình: $\sin^{2}x+\sin^{2}3x=\cos^{2}2x+\cos^{2}4x$ (*)
Xem lời giải
Lời giải
$\left( * \right)\Leftrightarrow \frac{1}{2}\left( 1-\cos 2x \right)+\frac{1}{2}\left( 1-\cos 6x \right)=\frac{1}{2}\left( 1+\cos 4x \right)+\frac{1}{2}\left( 1+\cos 8x \right)$
$\Leftrightarrow -\left( \cos 2x+\cos 6x \right)=\cos 4x+\cos 8x$ $\Leftrightarrow -2\cos 4x\cos 2x=2\cos 6x\cos 2x$
$\Leftrightarrow 2\cos 2x\left( \cos 6x+\cos 4x \right)=0$ $\Leftrightarrow 4\cos 2x\cos 5x\cos x=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x=0 \\ \cos 2x=0 \\ \cos 5x=0 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow x=\left( \frac{\pi}{2}+k\pi \right)\vee x=\left( \frac{\pi}{4}+l\frac{\pi}{2} \right)\vee x=\left( \frac{\pi}{10}+\frac{m\pi}{5} \right);k,l,m\in\mathbb{Z}$
$\Leftrightarrow -\left( \cos 2x+\cos 6x \right)=\cos 4x+\cos 8x$ $\Leftrightarrow -2\cos 4x\cos 2x=2\cos 6x\cos 2x$
$\Leftrightarrow 2\cos 2x\left( \cos 6x+\cos 4x \right)=0$ $\Leftrightarrow 4\cos 2x\cos 5x\cos x=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x=0 \\ \cos 2x=0 \\ \cos 5x=0 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow x=\left( \frac{\pi}{2}+k\pi \right)\vee x=\left( \frac{\pi}{4}+l\frac{\pi}{2} \right)\vee x=\left( \frac{\pi}{10}+\frac{m\pi}{5} \right);k,l,m\in\mathbb{Z}$