Bài tập nâng cao · Bài 65
6. BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài tập nâng cao Phương trình lượng giác cơ bản · Bài 65
Giải phương trình: $\sqrt{2}\sin^{3}\left( x+\frac{\pi}{4} \right)=2\sin x$ (1)
Xem lời giải
Lời giải
(1) $\Leftrightarrow \sqrt{2}\left[ \frac{1}{\sqrt{2}}.\sqrt{2}\sin\left( x+\frac{\pi}{4} \right) \right]^{3}=2\sin x$ $\Leftrightarrow \sqrt{2}\left[ \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \sin x+\cos x \right) \right]^{3}=2\sin x$
$\Leftrightarrow \left( \sin x+\cos x \right)^{3}=4\sin x$ $\Leftrightarrow \left( \sin x+\cos x \right)\left( \sin x+\cos x \right)^{2}=4\sin x$
$\Leftrightarrow \left( \sin x+\cos x \right)\left( 1+2\sin x\cos x \right)=4\sin x$
$\Leftrightarrow -3\sin x+2\cos^{2}x\sin x+2\sin^{2}x\cos x+\cos x=0$
$\Leftrightarrow \sin x\left( -3+2\cos^{2}x \right)+\cos x\left( 2\sin^{2}x+1 \right)=0$
$\Leftrightarrow -\sin x\left( 2\sin^{2}x+1 \right)+\cos x\left( 2\sin^{2}x+1 \right)=0$
$\Leftrightarrow \left( 2\sin^{2}x+1 \right)\left( \cos x-\sin x \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 0=2\sin^{2}x+1>0\,\,\text{(VN)} \\ \cos x-\sin x=0 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \tan x=1$ $\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k\pi$
$\Leftrightarrow \left( \sin x+\cos x \right)^{3}=4\sin x$ $\Leftrightarrow \left( \sin x+\cos x \right)\left( \sin x+\cos x \right)^{2}=4\sin x$
$\Leftrightarrow \left( \sin x+\cos x \right)\left( 1+2\sin x\cos x \right)=4\sin x$
$\Leftrightarrow -3\sin x+2\cos^{2}x\sin x+2\sin^{2}x\cos x+\cos x=0$
$\Leftrightarrow \sin x\left( -3+2\cos^{2}x \right)+\cos x\left( 2\sin^{2}x+1 \right)=0$
$\Leftrightarrow -\sin x\left( 2\sin^{2}x+1 \right)+\cos x\left( 2\sin^{2}x+1 \right)=0$
$\Leftrightarrow \left( 2\sin^{2}x+1 \right)\left( \cos x-\sin x \right)=0$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 0=2\sin^{2}x+1>0\,\,\text{(VN)} \\ \cos x-\sin x=0 \end{array} \right.$
$\Leftrightarrow \tan x=1$ $\Leftrightarrow x=\frac{\pi}{4}+k\pi$