Bài tập nâng cao · Bài 64
6. BÀI TẬP TỔNG HỢP
Bài tập nâng cao Phương trình lượng giác cơ bản · Bài 64
(ĐH A2002) Tìm nghiệm thuộc khoảng $\left( 0;2\pi \right)$ của phương trình:
$5\left( \sin x+\frac{\cos 3x+\sin 3x}{1+2\sin 2x} \right)=\cos 2x+3.$
$5\left( \sin x+\frac{\cos 3x+\sin 3x}{1+2\sin 2x} \right)=\cos 2x+3.$
Xem lời giải
Lời giải
Điều kiện: $\sin 2x\neq -\frac{1}{2}$
$5\left( \sin x+\frac{\cos 3x+\sin 3x}{1+2\sin 2x} \right)=\cos 2x+3$
$\Leftrightarrow 5\left( \sin x+\frac{4\cos^{3}x-3\cos x+3\sin x-4\sin^{3}x}{1+2\sin 2x} \right)=\cos 2x+3$
$\Leftrightarrow 5\left( \sin x+\frac{\left( \cos x-\sin x \right)\left( 1+4\sin x\cos x \right)}{1+2\sin 2x} \right)=\cos 2x+3$
$\Leftrightarrow 5\cos x=\cos 2x+3$
$\Leftrightarrow 2\cos^{2}x-5\cos x+2=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x=2\,\text{(L)} \\ \cos x=\frac{1}{2} \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow x=\pm\frac{\pi}{3}+k2\pi$ $x\in\left( 0;2\pi \right)\Rightarrow x=\frac{\pi}{3};x=\frac{5\pi}{3}$
$5\left( \sin x+\frac{\cos 3x+\sin 3x}{1+2\sin 2x} \right)=\cos 2x+3$
$\Leftrightarrow 5\left( \sin x+\frac{4\cos^{3}x-3\cos x+3\sin x-4\sin^{3}x}{1+2\sin 2x} \right)=\cos 2x+3$
$\Leftrightarrow 5\left( \sin x+\frac{\left( \cos x-\sin x \right)\left( 1+4\sin x\cos x \right)}{1+2\sin 2x} \right)=\cos 2x+3$
$\Leftrightarrow 5\cos x=\cos 2x+3$
$\Leftrightarrow 2\cos^{2}x-5\cos x+2=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x=2\,\text{(L)} \\ \cos x=\frac{1}{2} \end{array} \right.$ $\Leftrightarrow x=\pm\frac{\pi}{3}+k2\pi$ $x\in\left( 0;2\pi \right)\Rightarrow x=\frac{\pi}{3};x=\frac{5\pi}{3}$