Bài tập nâng cao · Bài 23
Bài tập nâng cao Các quy tắc tính đạo hàm · Bài 23
Cho hàm số $y=\frac{1}{3}\left( m-1 \right)x^{3}-2x^{2}+2mx-1$. Tập các giá trị của tham số $m$ để $y'\leq 0$ với mọi $x\in \mathbb{R}$?
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $y'=\left( m-1 \right)x^{2}-4x+2m$.
$y'\leq 0\Leftrightarrow \left( m-1 \right)x^{2}-4x+2m\leq 0$, $\forall x\in \mathbb{R}$ $\left( 1 \right)$
Nếu $m=1$ thì bất phương trình trở thành $-4x+2 < 0\Leftrightarrow x>\frac{1}{2}$ ( không thỏa mãn với mọi $x\in \mathbb{R}$)
Nếu $m\neq 1$. Khi đó
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m-1 < 0 \\ \Delta '\leq 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 1 \\ 4-2m.\left( m-1 \right)\leq 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 1 \\ -2m^{2}+2m+4\leq 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 1 \\ \left[ \begin{array}{l} m\leq -1 \\ m\geq 2 \end{array} \right. \end{array} \right.\Leftrightarrow m\leq -1$.
$y'\leq 0\Leftrightarrow \left( m-1 \right)x^{2}-4x+2m\leq 0$, $\forall x\in \mathbb{R}$ $\left( 1 \right)$
Nếu $m=1$ thì bất phương trình trở thành $-4x+2 < 0\Leftrightarrow x>\frac{1}{2}$ ( không thỏa mãn với mọi $x\in \mathbb{R}$)
Nếu $m\neq 1$. Khi đó
$\left( 1 \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m-1 < 0 \\ \Delta '\leq 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 1 \\ 4-2m.\left( m-1 \right)\leq 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 1 \\ -2m^{2}+2m+4\leq 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m < 1 \\ \left[ \begin{array}{l} m\leq -1 \\ m\geq 2 \end{array} \right. \end{array} \right.\Leftrightarrow m\leq -1$.