Bài tự luận · Bài 19
Dạng 2. Xác định tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại một điểm - Đạo hàm của hàm số $y=f(x)$ tại điểm $x_{0}$ là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số đó tại điểm $M_{0}\left( x_{0};f\left( x_{0}\right) \right)$. - Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=f(x)$ tại điểm $M_{0}\left( x_{0};f\left( x_{0}\right) \right)$ là $y=f^{′} \left( x_{0}\right)\left( x-x_{0}\right)+f\left( x_{0}\right)$.
Bài tự luận Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm · Bài 19
(KNTT11) Cho hàm số $y=\frac{8}{x},x\neq 0$.
a) Tính đạo hàm của hàm số tại điểm $x_0$ bất kì, $x_0\neq 0$.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ $x_0=2$.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng có phương trình $y=-2x+8$.
a) Tính đạo hàm của hàm số tại điểm $x_0$ bất kì, $x_0\neq 0$.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ $x_0=2$.
c) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng có phương trình $y=-2x+8$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Với $x_0\neq 0$ bất kì, ta có:
$y'\left( x_0 \right)=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{\frac{8}{x}-\frac{8}{x_0}}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{8\left( x_0-x \right)}{\left( x-x_0 \right)x_0\cdot x}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{-8}{x_0\cdot x}=-\frac{8}{x_0^2}.$
b) Với $x_0=2$ ta có $y_0=4$ và $y'(2)=-2$. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ $x_0=2$ là:
$y-4=-2(x-2)=-2x+4$ hay $y=-2x+8$
c) Hệ số góc tiếp tuyến có dạng $k=y'\left( x_0 \right)=-\frac{8}{x_0^2}$ ($x=x_0$ là hoành độ tiếp điểm). Do tiếp tuyến song song với đường thẳng $y=-2x+8$ nên hệ số góc của tiếp tuyến là $k=-2$.
Ta có: $-\frac{8}{x_0^2}=-2\Leftrightarrow x_0^2=4\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x_0=2 \\ x_0=-2 \\ \end{array} \right.$.
Với $x_0=2$, phương trình tiếp tuyến là: $y-4=-2(x-2)$, hay $y=-2x+8$ (loại, do tiếp tuyến trùng với đường thẳng đã cho).
Với $x_0=-2$, phương trình tiếp tuyến là:
$y-(-4)=-2(x-(-2))$, hay $y=-2x-8$
Vậy $y=-2x-8$ là tiếp tuyến cần tìm.
$y'\left( x_0 \right)=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{\frac{8}{x}-\frac{8}{x_0}}{x-x_0}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{8\left( x_0-x \right)}{\left( x-x_0 \right)x_0\cdot x}=\lim\limits_{x\to x_0}\frac{-8}{x_0\cdot x}=-\frac{8}{x_0^2}.$
b) Với $x_0=2$ ta có $y_0=4$ và $y'(2)=-2$. Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ $x_0=2$ là:
$y-4=-2(x-2)=-2x+4$ hay $y=-2x+8$
c) Hệ số góc tiếp tuyến có dạng $k=y'\left( x_0 \right)=-\frac{8}{x_0^2}$ ($x=x_0$ là hoành độ tiếp điểm). Do tiếp tuyến song song với đường thẳng $y=-2x+8$ nên hệ số góc của tiếp tuyến là $k=-2$.
Ta có: $-\frac{8}{x_0^2}=-2\Leftrightarrow x_0^2=4\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x_0=2 \\ x_0=-2 \\ \end{array} \right.$.
Với $x_0=2$, phương trình tiếp tuyến là: $y-4=-2(x-2)$, hay $y=-2x+8$ (loại, do tiếp tuyến trùng với đường thẳng đã cho).
Với $x_0=-2$, phương trình tiếp tuyến là:
$y-(-4)=-2(x-(-2))$, hay $y=-2x-8$
Vậy $y=-2x-8$ là tiếp tuyến cần tìm.