Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 17
Một vật được ném từ mặt đất lên trời xiên góc $\alpha$ so với phương nằm ngang với vận tốc ban đầu $v_0=9$ m/s.
Khi đó quỹ đạo chuyển động của vật tuân theo phương trình $y=\frac{-g}{2v_0^2\cos^2\alpha}x^2+x\tan\alpha$, ở đó $x$ (mét) là khoảng cách vật bay được theo phương ngang từ điểm ném, $y$ (mét) là độ cao so với mặt đất của vật trong quá trình bay, $g$ là gia tốc trọng trường (theo Vật lí đại cương, Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, 2016).
a) Tính độ cao nhất của vật trên quỹ đạo và xác định thời điểm mà vật đạt được độ cao đó (giả sử gia tốc trọng trường là $g=9,8$ m/s²).
b) Xác định góc ném $\alpha$ để tầm ném xa của vật đạt giá trị lớn nhất.
Xem lời giải
Lời giải
a) Quỹ đạo chuyển động $y=-\frac{g}{2v_0^2\cos^2\alpha}\cdot x^2+x\tan\alpha$. (1)
Hàm số (1) có dạng của hàm số bậc hai biến $x$ với hệ số cao nhất âm, do đó đồ thị hàm số là một đường parabol có đỉnh ở trên. Độ cao nhất của vật trên quỹ đạo ứng với tung độ đỉnh của parabol.
Khi đó $x_P=\sin\alpha\cdot\cos\alpha\cdot\frac{v_0^2}{g};\ y_P=\sin^2\alpha\cdot\frac{v_0^2}{2g}$.
Với $v_0=9$ m/s, $g=9,8$ m/s² ta có độ cao lớn nhất của vật là $y_P=\sin^2\alpha\cdot\frac{405}{98}$.
Thời điểm vật đạt được độ cao lớn nhất là $t_P=\frac{x_P}{v_0\cos\alpha}=\frac{v_0}{g}\sin\alpha=\frac{9}{9,8}\sin\alpha=\frac{45}{49}\sin\alpha$.
b) Tầm ném xa trong chuyển động ném xiên là $L=2x_P=\sin2\alpha\cdot\frac{v_0^2}{g}=\frac{810}{98}\cdot\sin2\alpha\leq\frac{405}{49}$.
Tầm ném xa đạt giá trị lớn nhất bằng $\frac{405}{49}$ khi $\sin2\alpha=1$ hay $\alpha=\frac{\pi}{4}$.
