Bài tự luận Ôn tập Hình học không gian – Quan hệ vuông góc 11 · Bài 21
Kim tự tháp bằng kính tại bảo tàng Louvre ở Paris có dạng hình chóp tứ giác đều với chiều cao là $ 21 $m và cạnh đáy dài $ 34 $m. Góc nhị diện tạo bởi hai mặt bên có chung một cạnh của kim tứ tháp có số đo bằng bao nhiêu độ (làm tròn đến hàng đơn vị)?
Xem lời giải
Lời giải
Ta mô hình hóa kim tự tháp bằng một hình chóp tứ giác đều $ S.ABCD $ như hình vẽ, khi đó $ SO=21 $ và $ AB=34 $.
Gọi $ O $ là tâm của hình vuông $ ABCD $, $ H $ là hình chiếu vuông góc của $ O $ trên $ SD $.
Khi đó $ SD\perp\left ( { AHC } \right ) $ nên $ \widehat { AHC }=\left[ A,SD,C \right] $.
Ta có $ OD=\frac { CD\sqrt { 2 } } { 2 }=17\sqrt { 2 } $ nên $ OH=\frac { SO.OD } { \sqrt { SO ^ { 2 } +OD ^ { 2 } } }=\frac { 21.17\sqrt { 2 } } { \sqrt { 21 ^ { 2 } +\left ( { 17\sqrt { 2 } } \right ) ^ { 2 } } }=\frac { 357\sqrt { 2 } } { \sqrt { 1019 } } $.
Suy ra: $ AH=CH=\sqrt { OH ^ { 2 } +OC ^ { 2 } }=\sqrt { \frac { 843880 } { 1019 } } $.
Vậy $ \cos \widehat { AHC }=\frac { AH ^ { 2 } +CH ^ { 2 } -AC ^ { 2 } } { 2AH.CH }=-\frac { 289 } { 730 } $
hay $ \left[ A,SD,C \right]\approx 113 ^ { \circ } $.
