Cho hình chóp $ S.ABC $ có đáy $ ABC $ là tam giác vuông tại $ A $, mặt bên $ SAB $ là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $, gọi $ M $ là điểm thuộc cạnh $ SC $sao cho $ MC=2MS $. Biết $ AB=3,BC=3\sqrt[] { 3 } $, tính khoảng cách giữa hai đường thẳng $ AC $và $ BM $.
Xem lời giải
Lời giải
Từ $ M $ kẻ đường thẳng song song với $ AC $ cắt $ SA $ tại
$ N\Rightarrow AC//MN\Rightarrow AC//\left ( { BMN } \right ) $
Gọi $ H $ là trung điểm của $ AB $. Khi đó $ SH⊥AB $.\n$ AC⊥AB,AC⊥SH\Rightarrow AC⊥\left ( { SAB } \right ) $
$ AC//MN\Rightarrow MN⊥\left ( { SAB } \right )\Rightarrow MN⊥\left ( { SAB } \right ) $
$ \Rightarrow \left ( { BMN } \right )⊥\left ( { SAB } \right ) $ theo giao tuyến $ BN $.
Ta có:
$ AC//\left ( { BMN } \right )\Rightarrow d\left ( { AC,BM } \right )=d\left ( { AC,\left ( { BMN } \right ) } \right ) $
$ =d\left ( { A,\left ( { BMN } \right ) } \right )=AK $(với $ K $ là hình chiếu của $ A $ lên $ BN $).
$ \frac { NA } { SA }=\frac { MC } { SC }=\frac { 2 } { 3 }\Rightarrow S_{ ABN } =\frac { 2 } { 3 }S_{ SAB } =\frac { 2 } { 3 }\frac { 3 ^ { 2 } \sqrt[] { 3 } } { 4 }=\frac { 3\sqrt[] { 3 } } { 2 } $ (đvdt) và $ AN=\frac { 2 } { 3 }SA=2 $
$ BN=\sqrt[] { AN ^ { 2 } +AB ^ { 2 } -2AN.AB.cos60 ^ { 0 } }=\sqrt[] { 7 }\Rightarrow AK=\frac { 2S_{ ABN } } { BN }=\frac { 2.\frac { 3\sqrt[] { 3 } } { 2 } } { \sqrt[] { 7 } }=\frac { 3\sqrt[] { 21 } } { 7 } $
Vậy $ d\left ( { AC,BM } \right )=\frac { 3\sqrt[] { 21 } } { 7 } $ (đvđd).
