Bài tập nâng cao · Bài 43
Dạng 2. Khoảng cách đường với đường
Bài tập nâng cao Khoảng cách · Bài 43
Cho hai tam giác đều $ ABC $ và $ ABD $ cạnh $ a $nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau. Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng $ AB $ và $ CD $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $ I,\,J $ lần lượt là trung điểm của $ AB,\,CD $. $ \left ( { ABC } \right )⊥\left ( { ABD } \right ) $
và hai tam giác $ ABC $ và $ ABD $ đều nên $ AB⊥\left ( { CDI } \right ) $
và $ CI=DI $ suy ra $ IJ $ là đoạn vuông góc
chung của hai đường thẳng $ AB,\,CD $.
Vì tam giác $ CDI $ vuông tại $ I $ và $ J $ là trung điểm
của $ CD $
Nên $ IJ=\frac { CD } { 2 }=\frac { \sqrt[] { 2CI ^ { 2 } } } { 2 }=\frac { \sqrt[] { 2\left ( { \frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } } \right ) ^ { 2 } } } { 2 }=\frac { a\sqrt[] { 6 } } { 4 } $.
và hai tam giác $ ABC $ và $ ABD $ đều nên $ AB⊥\left ( { CDI } \right ) $
và $ CI=DI $ suy ra $ IJ $ là đoạn vuông góc
chung của hai đường thẳng $ AB,\,CD $.
Vì tam giác $ CDI $ vuông tại $ I $ và $ J $ là trung điểm
của $ CD $
Nên $ IJ=\frac { CD } { 2 }=\frac { \sqrt[] { 2CI ^ { 2 } } } { 2 }=\frac { \sqrt[] { 2\left ( { \frac { a\sqrt[] { 3 } } { 2 } } \right ) ^ { 2 } } } { 2 }=\frac { a\sqrt[] { 6 } } { 4 } $.