Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình vuông cạnh $ 2a $, cạnh bên $ SA $ vuông góc với mặt phẳng đáy $ \left ( { ABCD } \right ) $và $ SA=a\sqrt[] { 2 } $. Gọi $ M $ là trung điểm của cạnh $ BC $. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $ SB $ và $ DM $.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $ N $ là trung điểm của cạnh $ AD $. Ta có $ DM\parallel \,BN\Rightarrow DM\parallel \left ( { SBN } \right ) $.
Do đó $ d\left ( { DM\,,\,SB } \right )=d\left ( { DM\,,\,\left ( { SBN } \right ) } \right )=d\left ( { M\,,\,\left ( { SBN } \right ) } \right ) $.
Gọi $ I $ là giao điểm của $ BN $ và $ AM $. Khi đó $ I $ là trung điểm của $ AM $.
Suy ra $ d\left ( { M\,,\,\left ( { SBN } \right ) } \right )=d\left ( { A\,,\,\left ( { SBN } \right ) } \right ) $.
Kẻ $ AK⊥BN $ và kẻ $ AH⊥SK $.
Khi đó $ d\left ( { A\,,\,\left ( { SBN } \right ) } \right )=AH $.
Ta có $ \frac { 1 } { AK ^ { 2 } }=\frac { 1 } { AB ^ { 2 } }+\frac { 1 } { BN ^ { 2 } }=\frac { 5 } { 4a ^ { 2 } } $.
Suy ra $ \frac { 1 } { AH ^ { 2 } }=\frac { 1 } { AK ^ { 2 } }+\frac { 1 } { SA ^ { 2 } }=\frac { 7 } { 4a ^ { 2 } }\Rightarrow AH=\frac { 2a\sqrt[] { 7 } } { 7 } $.
Vậy $ d\left ( { DM\,,\,SB } \right )=\frac { 2a\sqrt[] { 7 } } { 7 } $.
