Bài tập nâng cao · Bài 45
Dạng 2. Khoảng cách đường với đường
Bài tập nâng cao Khoảng cách · Bài 45
Cho hình chóp $ S.ABC $có tam giác $ ABC $ đều cạnh $ a $. Gọi $ I $ là trung điểm $ AB $, hình chiếu của điểm $ S $ lên $ \left ( { ABC } \right ) $ là trung điểm $ H $ của đoạn $ CI $, góc giữa đường thẳng $ SA $ và mặt phẳng $ \left ( { ABC } \right ) $ bằng $ 45° $. Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau $ SA $ và $ CI $ bằng
Xem lời giải
Lời giải
Kẻ $ At{ \rm{ / } }{ \rm{ / } }CI $ ; $ HK⊥At $ và $ HH'⊥SK $.
Ta có $ \left \{ \begin{array}{l} AK⊥HK \\ AK⊥SH \end{array} \right.\Rightarrow AK⊥\left ( { SHK } \right )\Rightarrow AK⊥HH' $ (1)
Lại có $ HH'⊥SK $ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $ HH'⊥\left ( { SAK } \right ) $
Mặt khác $ d\left ( { CI;SA } \right )=d\left ( { CI;\left ( { SAK } \right ) } \right )=d\left ( { H;\left ( { SAK } \right ) } \right )=HH' $.
Ta có $ AIHK $ là hình chữ nhật và tam giác $ SAH $ vuông cân nên
$ HK=AI=\frac { a } { 2 } $ và $ SH=HA=\sqrt[] { HI ^ { 2 } +AI ^ { 2 } }=\sqrt[] { \left ( { \frac { a\sqrt[] { 3 } } { 4 } } \right ) ^ { 2 } +\left ( { \frac { a } { 2 } } \right ) ^ { 2 } }=\frac { a\sqrt[] { 7 } } { 4 } $.
Trong tam giác vuông $ SHK $ có $ \frac { 1 } { {HH'} ^ { 2 } }=\frac { 1 } { SH ^ { 2 } }+\frac { 1 } { HK ^ { 2 } }=\frac { 44 } { 7a ^ { 2 } } $ $ \Rightarrow HH'=\frac { a\sqrt[] { 77 } } { 22 } $.