Cho tập $X = \{0; 1; 2; 3; 4; 5; 6\}$.

a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Đúng Lời giải a) Gọi số cần lập có dạng $\overline{abcde}$ ($a \neq 0$). Chọn $a$ có $6$ cách, chọn $4$ chữ số còn lại từ $6$ phần tử còn lại có $A_{6}^{4}$ cách. Vậy có: $$ 6 \cdot A_{6}^{4} = 6 \cdot 360 = 2160 \text{ (số)} $$ b) Gọi số chẵn cần lập có dạng $\overline{abcde}$ ($a \neq 0$). Do là số chẵn nên $e \in \{0; 2; 4; 6\}$. Trường hợp 1: Nếu $e = 0$, chọn $e$ có $1$ cách. Chọn $4$ chữ số còn lại từ $6$ số có $A_{6}^{4} = 360$ cách. Trường hợp 2: Nếu $e \in \{2; 4; 6\}$, chọn $e$ có $3$ cách. Do $a \neq 0$ nên chọn $a$ có $5$ cách. Chọn $3$ chữ số còn lại từ $5$ số có $A_{5}^{3} = 60$ cách. Suy ra có $3 \cdot 5 \cdot 60 = 900$ số. Vậy có $360 + 900 = 1260$ số chẵn. c) Chọn vị trí cho số $0$ trong bốn vị trí $b, c, d, e$ có $4$ cách. Xếp các số còn lại trong $X$ vào bốn vị trí còn lại có $A_{6}^{4}$ cách. Vậy có: $$ 4 \cdot A_{6}^{4} = 4 \cdot 360 = 1440 \text{ (số)} $$ d) Trường hợp 1: Nếu $a = 1$ thì chọn $4$ chữ số còn lại từ $6$ số có $A_{6}^{4} = 360$ cách. Trường hợp 2: Nếu $a \neq 1$, chọn vị trí cho chữ số $1$ trong bốn vị trí $b, c, d, e$ có $4$ cách. Do $a \neq 0$ nên chọn $a$ có $5$ cách. Chọn $3$ chữ số còn lại từ $5$ số có $A_{5}^{3} = 60$ cách. Suy ra có $4 \cdot 5 \cdot 60 = 1200$ số. Vậy có $360 + 1200 = 1560$ số.