Bài tập nâng cao · Bài 12
Bài tập nâng cao Các quy tắc tính đạo hàm · Bài 12
Cho hàm số $f\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{l} ax^{2}+bx+1,x\geq 0 \\ ax-b-1,x < 0 \end{array} \right.$. Khi hàm số $f\left( x \right)$ có đạo hàm tại $x_{0}=0$. Hãy tính $T=a+2b$.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $f\left( 0 \right)=1$.
$\lim\limits_{x\to 0^{+}}f\left( x \right)=\lim\limits_{x\to 0^{+}}\left( ax^{2}+bx+1 \right)=1$.
$\lim\limits_{x\to 0^{-}}f\left( x \right)=\lim\limits_{x\to 0^{-}}\left( ax-b-1 \right)=-b-1$.
Để hàm số có đạo hàm tại $x_{0}=0$ thì hàm số phải liên tục tại $x_{0}=0$ nên
$f\left( 0 \right)=\lim\limits_{x\to 0^{+}}f\left( x \right)=\lim\limits_{x\to 0^{-}}f\left( x \right)$. Suy ra $-b-1=1\Leftrightarrow b=-2$.
Khi đó $f\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{l} ax^{2}-2x+1,x\geq 0 \\ ax+1,x < 0 \end{array} \right.$.
Xét:
+) $\lim\limits_{x\to 0^{+}}\frac{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}{x}=\lim\limits_{x\to 0^{+}}\frac{ax^{2}-2x+1-1}{x}=\lim\limits_{x\to 0^{+}}\left( ax-2 \right)=-2$.
+) $\lim\limits_{x\to 0^{-}}\frac{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}{x}=\lim\limits_{x\to 0^{-}}\frac{ax+1-1}{x}=\lim\limits_{x\to 0^{-}}\left( a \right)=a$.
Hàm số có đạo hàm tại $x_{0}=0$ thì $a=-2$.
Vậy với $a=-2$, $b=-2$ thì hàm số có đạo hàm tại $x_{0}=0$ khi đó $T=-6$.
$\lim\limits_{x\to 0^{+}}f\left( x \right)=\lim\limits_{x\to 0^{+}}\left( ax^{2}+bx+1 \right)=1$.
$\lim\limits_{x\to 0^{-}}f\left( x \right)=\lim\limits_{x\to 0^{-}}\left( ax-b-1 \right)=-b-1$.
Để hàm số có đạo hàm tại $x_{0}=0$ thì hàm số phải liên tục tại $x_{0}=0$ nên
$f\left( 0 \right)=\lim\limits_{x\to 0^{+}}f\left( x \right)=\lim\limits_{x\to 0^{-}}f\left( x \right)$. Suy ra $-b-1=1\Leftrightarrow b=-2$.
Khi đó $f\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{l} ax^{2}-2x+1,x\geq 0 \\ ax+1,x < 0 \end{array} \right.$.
Xét:
+) $\lim\limits_{x\to 0^{+}}\frac{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}{x}=\lim\limits_{x\to 0^{+}}\frac{ax^{2}-2x+1-1}{x}=\lim\limits_{x\to 0^{+}}\left( ax-2 \right)=-2$.
+) $\lim\limits_{x\to 0^{-}}\frac{f\left( x \right)-f\left( 0 \right)}{x}=\lim\limits_{x\to 0^{-}}\frac{ax+1-1}{x}=\lim\limits_{x\to 0^{-}}\left( a \right)=a$.
Hàm số có đạo hàm tại $x_{0}=0$ thì $a=-2$.
Vậy với $a=-2$, $b=-2$ thì hàm số có đạo hàm tại $x_{0}=0$ khi đó $T=-6$.