Bài tập nâng cao · Bài 13
Bài tập nâng cao Các quy tắc tính đạo hàm · Bài 13
Cho hàm số $y=(m+2)x^{3}+\frac{3}{2}(m+2)x^{2}+3x-1$, $m$ là tham số. Số giá trị nguyên của $m$ để $y'\geq 0,\ \forall x\in \mathbb{R}$ là
Xem lời giải
Lời giải
$y'=3(m+2)x^{2}+3(m+2)x+3$.
Xét $m+2=0\Leftrightarrow m=-2$ khi đó $y'=3>0\ \forall x\in \mathbb{R}$ (thỏa mãn).
Xét $m+2\neq 0\Leftrightarrow m\neq -2$.
Khi đó
$\begin{array}{l} y'\geq 0,\ \forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow (m+2)x^{2}+(m+2)x+1\geq 0\,\ \forall x\in \mathbb{R} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m+2>0 \\ \Delta =m^{2}-4\leq 0 \\ m\in \mathbb{Z} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m>-2 \\ -2\leq m\leq 2 \\ m\in \mathbb{Z} \end{array} \right. \\ \Rightarrow m\in \left\{ -2,-1,0,1,2 \right\}. \end{array}$
Xét $m+2=0\Leftrightarrow m=-2$ khi đó $y'=3>0\ \forall x\in \mathbb{R}$ (thỏa mãn).
Xét $m+2\neq 0\Leftrightarrow m\neq -2$.
Khi đó
$\begin{array}{l} y'\geq 0,\ \forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow (m+2)x^{2}+(m+2)x+1\geq 0\,\ \forall x\in \mathbb{R} \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m+2>0 \\ \Delta =m^{2}-4\leq 0 \\ m\in \mathbb{Z} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} m>-2 \\ -2\leq m\leq 2 \\ m\in \mathbb{Z} \end{array} \right. \\ \Rightarrow m\in \left\{ -2,-1,0,1,2 \right\}. \end{array}$