Bài tập nâng cao · Bài 11
Bài tập nâng cao Các quy tắc tính đạo hàm · Bài 11
Cho hàm số $f\left( x \right)=\frac{1}{3}x^{3}-\left( m-2 \right)x^{2}-\left( 2m-3 \right)x+2020$, biết rằng tồn tại giá trị $m$ sao cho $f'\left( x \right)\geq 0$ với $\forall x\in \mathbb{R}$, khi đó $m$ thuộc khoảng nào sau đây?
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $f'\left( x \right)=x^{2}-2\left( m-2 \right)x-\left( 2m-3 \right)$
$f'\left( x \right)\geq 0,\,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a>0 \\ \Delta _{f'}\leq 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1>0\,\,\left( t/m \right) \\ \left( m-2 \right)^{2}+2m-3\leq 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow m^{2}-2m+1\leq 0\Leftrightarrow \left( m-1 \right)^{2}\leq 0\Leftrightarrow m=1\Rightarrow m\in \left( 0\,;\,2 \right)$
$f'\left( x \right)\geq 0,\,\forall x\in \mathbb{R}\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} a>0 \\ \Delta _{f'}\leq 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} 1>0\,\,\left( t/m \right) \\ \left( m-2 \right)^{2}+2m-3\leq 0 \end{array} \right.\Leftrightarrow m^{2}-2m+1\leq 0\Leftrightarrow \left( m-1 \right)^{2}\leq 0\Leftrightarrow m=1\Rightarrow m\in \left( 0\,;\,2 \right)$