Bài tự luận · Bài 15
Bài tự luận Ôn tập Hình học không gian – Quan hệ vuông góc 11 · Bài 15
Cho hình hộp đứng $ ABCD.A ^ { ′ } B ^ { ′ } C ^ { ′ } D ^ { ′ } $ có đáy $ ABCD $ là hình thoi cạnh $ 2a $. Mặt phẳng $ \left ( { B ^ { ′ } AC } \right ) $ tạo với đáy một góc $ 30 ^ { ° } $, khoảng cách từ $ B $ đến mặt phẳng $ \left ( { D ^ { ′ } AC } \right ) $ bằng $ \frac { a } { 2 } $. Tính thể tích khối tứ diện $ ACB ^ { ′ } D ^ { ′ } $.
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $ O=AC\cap BD $. Ta có:
$ \left \{ \begin{array}{l} \begin{array}{l} AC\perp BD \\ AC\perp BB ^ { ′ } \\ \end{array} \Rightarrow AC\perp\left ( { BB ^ { ′ } D } \right )\Rightarrow AC\perp B ^ { ′ } O \end{array} \right. $.
Khi đó:
$ BO\perp AC,B ^ { ′ } O\perp AC,(ABCD)\cap\left ( { B ^ { ′ } AC } \right )=AC $,
$ \Rightarrow \left ( { \left ( { B ^ { ′ } AC } \right ),(ABCD) } \right )=\left ( { BO,OB ^ { ′ } } \right )= \widehat { B ^ { ′ } OB }=30 ^ { ° } $.
Dễ thấy $ d\left ( { B,\left ( { D ^ { ′ } AC } \right ) } \right )=d\left ( { D,\left ( { D ^ { ′ } AC } \right ) } \right )=\frac { a } { 2 } $.
$ AC\perp\left ( { BB ^ { ′ } D ^ { ′ } D } \right )\Rightarrow \left ( { D ^ { ′ } AC } \right )\perp\left ( { BB ^ { ′ } D ^ { ′ } D } \right ) $
và $ \left ( { D ^ { ′ } AC } \right )\cap\left ( { BB ^ { ′ } D ^ { ′ } D } \right )=D ^ { ′ } O $.
Từ $ D $ kẻ $ DH\perp D ^ { ′ } O(H\in D ^ { ′ } O) $,
suy ra $ d\left ( { D,\left ( { D ^ { ′ } AC } \right ) } \right )=DH=\frac { a } { 2 } $.
Xét $ \Delta B ^ { ′ } BO:\tan30 ^ { ° } =\frac { BB ^ { ′ } } { BO }\Rightarrow OD=BO=\sqrt { 3 }BB ^ { ′ } $.
Xét $ \Delta D ^ { ′ } DO:\frac { 1 } { HD ^ { 2 } }=\frac { 1 } { OD ^ { 2 } }+\frac { 1 } { D ^ { ′ } D ^ { 2 } }\Leftrightarrow \frac { 4 } { a ^ { 2 } }=\frac { 1 } { 3\left ( { B ^ { ′ } B } \right ) ^ { 2 } }+\frac { 1 } { D ^ { ′ } D ^ { 2 } } $
$ \Rightarrow DD ^ { ′ } =\frac { a } { \sqrt { 3 } }\Rightarrow OB=a $.
Gọi: $ I=BD\cap B ^ { ′ } O $, suy ra $ \frac { BI } { D ^ { ′ } I }=\frac { 1 } { 2 } $.
$ \Rightarrow d\left ( { D ^ { ′ } ,\left ( { B ^ { ′ } AC } \right ) } \right )=2d\left ( { B,\left ( { B ^ { ′ } AC } \right ) } \right )\Rightarrow V_{ ACB ^ { ′ } D ^ { ′ } } =2V_{ B ^ { ′ } ABC } $.
Mà $ OA=\sqrt { AB ^ { 2 } -OB ^ { 2 } }=\sqrt { 4a ^ { 2 } -a ^ { 2 } }=a\sqrt { 3 } $.
$ \Rightarrow S_{ \Delta ABC } =2S_{ \Delta ABO } =2\cdot \frac { 1 } { 2 }\cdot OB\cdot OA=a ^ { 2 } \sqrt { 3 } $.
Suy ra: $ V_{ B ^ { ′ } ABC } =\frac { 1 } { 3 }\cdot BB ^ { ′ } \cdot S_{ \Delta ABC } =\frac { 1 } { 3 }\cdot \frac { a } { \sqrt { 3 } }\cdot a ^ { 2 } \sqrt { 3 }=\frac { a ^ { 3 } } { 3 } $.
Vậy $ V_{ ACB ^ { ′ } D ^ { ′ } } =\frac { 2a ^ { 3 } } { 3 } $.