Bài tự luận · Bài 34
Dạng 2. Giới hạn vô cực của hàm số
Bài tự luận Giới hạn của hàm số · Bài 34
(CTST11) Tìm các giới hạn sau:
a) $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(-x^{2}+2x-4\right)$;
b) $\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{x^{2}+3x+1}{2x-1}$.
a) $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(-x^{2}+2x-4\right)$;
b) $\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{x^{2}+3x+1}{2x-1}$.
Xem lời giải
Lời giải
a) $-x^{2}+2x-4=x^{2}\left(-1+\frac{2}{x}-\frac{4}{x^{2}}\right)$.
Ta có $\lim\limits_{x\to +\infty}x^{2}=+\infty$ và $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(-1+\frac{2}{x}-\frac{4}{x^{2}}\right)=\lim\limits_{x\to +\infty}(-1)+\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{2}{x}-\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{4}{x^{2}}$
$=-1+0-0=-1$. Suy ra $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(-x^{2}+2x-4\right)=\lim\limits_{x\to +\infty}\left[x^{2}\left(-1+\frac{2}{x}-\frac{4}{x^{2}}\right)\right]=-\infty$.
b) $\frac{x^{2}+3x+1}{2x-1}=\frac{x^{2}\left(1+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right)}{x\left(2-\frac{1}{x}\right)}=x\cdot \frac{1+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^{2}}}{2-\frac{1}{x}}$.
Ta có $\lim\limits_{x\to -\infty}x=-\infty$; $\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{1+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^{2}}}{2-\frac{1}{x}}=\frac{1+\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{3}{x}+\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{1}{x^{2}}}{\lim\limits_{x\to -\infty}2-\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{1}{x}}=\frac{1+0+0}{2-0}=\frac{1}{2}$.
Suy ra $\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{x^{2}+3x+1}{2x-1}=\lim\limits_{x\to -\infty}\left(x\cdot \frac{1+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^{2}}}{2-\frac{1}{x}}\right)=-\infty$.
Ta có $\lim\limits_{x\to +\infty}x^{2}=+\infty$ và $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(-1+\frac{2}{x}-\frac{4}{x^{2}}\right)=\lim\limits_{x\to +\infty}(-1)+\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{2}{x}-\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{4}{x^{2}}$
$=-1+0-0=-1$. Suy ra $\lim\limits_{x\to +\infty}\left(-x^{2}+2x-4\right)=\lim\limits_{x\to +\infty}\left[x^{2}\left(-1+\frac{2}{x}-\frac{4}{x^{2}}\right)\right]=-\infty$.
b) $\frac{x^{2}+3x+1}{2x-1}=\frac{x^{2}\left(1+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^{2}}\right)}{x\left(2-\frac{1}{x}\right)}=x\cdot \frac{1+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^{2}}}{2-\frac{1}{x}}$.
Ta có $\lim\limits_{x\to -\infty}x=-\infty$; $\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{1+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^{2}}}{2-\frac{1}{x}}=\frac{1+\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{3}{x}+\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{1}{x^{2}}}{\lim\limits_{x\to -\infty}2-\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{1}{x}}=\frac{1+0+0}{2-0}=\frac{1}{2}$.
Suy ra $\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{x^{2}+3x+1}{2x-1}=\lim\limits_{x\to -\infty}\left(x\cdot \frac{1+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^{2}}}{2-\frac{1}{x}}\right)=-\infty$.