Bài tự luận · Bài 35
Dạng 2. Giới hạn vô cực của hàm số
Bài tự luận Giới hạn của hàm số · Bài 35
(CTST11) Tính các giới hạn sau:
a) $\lim\limits_{x\to -\infty}\left(x^{3}+2x^{2}-1\right)$
b) $\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{x^{3}+2x^{2}}{3x^{2}+1}$;
c) $\lim\limits_{x\to -\infty}\sqrt{x^{2}-2x+3}$.
a) $\lim\limits_{x\to -\infty}\left(x^{3}+2x^{2}-1\right)$
b) $\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{x^{3}+2x^{2}}{3x^{2}+1}$;
c) $\lim\limits_{x\to -\infty}\sqrt{x^{2}-2x+3}$.
Xem lời giải
Lời giải
a) $\lim\limits_{x\to -\infty}\left(x^{3}+2x^{2}-1\right)=\lim\limits_{x\to -\infty}\left[x^{3}\left(1+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^{3}}\right)\right]=-\infty$
(vì $\lim\limits_{x\to -\infty}x^{3}=-\infty;\lim\limits_{x\to -\infty}\left(1+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^{3}}\right)=\lim\limits_{x\to -\infty}1+\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{2}{x}-\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{1}{x^{3}}=1+0-0=1$).
b) $\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{x^{3}+2x^{2}}{3x^{2}+1}=\lim\limits_{x\to +\infty}\left[x\frac{x^{2}+2x}{3x^{2}+1}\right]=+\infty$; vì $\lim\limits_{x\to +\infty}x=+\infty$ và $\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{x^{2}+2x}{3x^{2}+1}=\frac{1}{3}$.
c) $\lim\limits_{x\to -\infty}\sqrt{x^{2}-2x+3}=\lim\limits_{x\to -\infty}\sqrt{x^{2}\left(1-\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}}\right)}=\lim\limits_{x\to -\infty}\left(|x|\sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}}}\right)=+\infty$
(vì $\lim\limits_{x\to -\infty}|x|=\lim\limits_{x\to -\infty}(-x)=+\infty$ và $\lim\limits_{x\to -\infty}\sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}}}=1$).
(vì $\lim\limits_{x\to -\infty}x^{3}=-\infty;\lim\limits_{x\to -\infty}\left(1+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^{3}}\right)=\lim\limits_{x\to -\infty}1+\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{2}{x}-\lim\limits_{x\to -\infty}\frac{1}{x^{3}}=1+0-0=1$).
b) $\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{x^{3}+2x^{2}}{3x^{2}+1}=\lim\limits_{x\to +\infty}\left[x\frac{x^{2}+2x}{3x^{2}+1}\right]=+\infty$; vì $\lim\limits_{x\to +\infty}x=+\infty$ và $\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{x^{2}+2x}{3x^{2}+1}=\frac{1}{3}$.
c) $\lim\limits_{x\to -\infty}\sqrt{x^{2}-2x+3}=\lim\limits_{x\to -\infty}\sqrt{x^{2}\left(1-\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}}\right)}=\lim\limits_{x\to -\infty}\left(|x|\sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}}}\right)=+\infty$
(vì $\lim\limits_{x\to -\infty}|x|=\lim\limits_{x\to -\infty}(-x)=+\infty$ và $\lim\limits_{x\to -\infty}\sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{3}{x^{2}}}=1$).