Bài tự luận · Bài 16
Dạng 1. Rút gọn, chứng minh đẳng thức vectơ Phương pháp: - Biến đổi từ biểu thức vế này sang vế kia. - Chứng minh hai biểu thức vectơ cùng bằng một vectơ trung gian - Chứng minh hai biểu thức vectơ cùng bằng một biểu thức vectơ trung gian bằng cách sử dụng quy tắc trừ với điểm đầu là điểm $ O $ bất kì.
Bài tự luận Tổng và hiệu của hai vectơ · Bài 16
(KNTT10) Cho tam giác $ABC$. Gọi $D,E,F$ theo thứ tự là trung điểm của các cạnh $BC,CA,AB$.
a) Xác định vectơ $\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}$.
b) Xác định điểm $M$ thoả mãn $\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{MA}$.
c) Chứng minh rằng $\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AB}$.
a) Xác định vectơ $\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}$.
b) Xác định điểm $M$ thoả mãn $\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{MA}$.
c) Chứng minh rằng $\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AB}$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Do $D$ là trung điểm của $BC,E$ là trung điểm của $CA,F$ là trung điểm của $AB$ nên $\overrightarrow{AF}=\overrightarrow{FB},\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{DC},\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{DF}$.
Do $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{DF}$ nên tứ giác $CEFD$ là hình bình hành.
Từ đó $-\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CF}$.
Suy ra $\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CF}+\overrightarrow{FB}=\overrightarrow{CB}$
b) Giả sử tìm được điểm $M$ thoả mãn $\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{MA}$. Khi đó, theo kết quả câu a, ta được $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{MA}$. Suy ra tứ giác $ABCM$ là hình bình hành. Và do đó điểm $M$ cần tìm đối xứng với $B$ qua $E$.
c) Do $ABCM$ là một hình bình hành, nên $\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AB}$.
Do $\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{DF}$ nên tứ giác $CEFD$ là hình bình hành.
Từ đó $-\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{CF}$.
Suy ra $\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{FB}+\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CF}+\overrightarrow{FB}=\overrightarrow{CB}$
b) Giả sử tìm được điểm $M$ thoả mãn $\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{MA}$. Khi đó, theo kết quả câu a, ta được $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{MA}$. Suy ra tứ giác $ABCM$ là hình bình hành. Và do đó điểm $M$ cần tìm đối xứng với $B$ qua $E$.
c) Do $ABCM$ là một hình bình hành, nên $\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AB}$.