Bài tự luận · Bài 15
Dạng 1. Rút gọn, chứng minh đẳng thức vectơ Phương pháp: - Biến đổi từ biểu thức vế này sang vế kia. - Chứng minh hai biểu thức vectơ cùng bằng một vectơ trung gian - Chứng minh hai biểu thức vectơ cùng bằng một biểu thức vectơ trung gian bằng cách sử dụng quy tắc trừ với điểm đầu là điểm $ O $ bất kì.
Bài tự luận Tổng và hiệu của hai vectơ · Bài 15
(KNTT10) Cho tứ giác $ABCD$.
a) Chứng minh rằng $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=0$.
b) Chứng minh rằng $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$.
a) Chứng minh rằng $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=0$.
b) Chứng minh rằng $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Theo tính chất kết hợp của phép cộng vectơ, ta có
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD})+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AA}=0$
b) Do $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=0$ nên $(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA})+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AD}$.
Do tính kết hợp của phép cộng, ta được $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}$.
Từ đó $(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD})+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$.
Do tính kết hợp, giao hoán của phép cộng vectơ, tính chất của vectơ $0$, nên
$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB})=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}$.
$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC})+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=(\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD})+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AA}=0$
b) Do $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=0$ nên $(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA})+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AD}$.
Do tính kết hợp của phép cộng, ta được $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{AD}$.
Từ đó $(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD})+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}$.
Do tính kết hợp, giao hoán của phép cộng vectơ, tính chất của vectơ $0$, nên
$\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}+(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CB})=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{CD}$.