Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình thang vuông tại $A$ và $D$, $AB = 2$, $AD = DC = 1$; cạnh bên $SA = 1$ và vuông góc với đáy. Mặt phẳng $(\alpha)$ qua $SD$ và vuông góc với mặt phẳng $(SAC)$. Gọi $E$ là giao điểm của $AB$ và mặt phẳng $(\alpha)$. Tính diện tích tam giác $SDE$ (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Lời giải Gọi $E'$ là trung điểm $AB$. Dễ thấy $ADCE'$ là hình vuông nên $DE' \perp AC$ (1). Mặt khác, vì $SA \perp (ABCD) \Rightarrow SA \perp DE'$ (2). Từ (1) và (2), suy ra: $$ DE' \perp (SAC) \Rightarrow (SDE') \perp (SAC) $$ Ta có: $$ \left\{ \begin{array}{l} SD \subset (SDE') \\ (SDE') \perp (SAC) \end{array} \right. \Rightarrow (\alpha) \equiv (SDE') $$ Do vậy giao điểm của $AB$ và mặt phẳng $(\alpha)$ là $E \equiv E'$. Ta có: $$ SD = \sqrt{SA^{2} + AD^{2}} = \sqrt{2} $$ $$ SE = \sqrt{SA^{2} + AE^{2}} = \sqrt{2} $$ $$ DE = AD\sqrt{2} = \sqrt{2} $$ Do đó tam giác $SDE$ đều có cạnh bằng $\sqrt{2}$ nên: $$ S_{\Delta SDE} = \frac{SD^{2} \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0,87 $$