Bài tự luận · Bài 27
Bài tự luận Ôn tập Hình học không gian – Quan hệ vuông góc 11 · Bài 27
Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy $ ABCD $ là hình chữ nhật, $ SA $ vuông góc với đáy $ ABCD $, biết rằng $ SA=a $, $ AB=2a $, $ AD=a\sqrt { 2 } $. Gọi $ H $, $ K $ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $ A $ trên $ SB $ và $ SD $. Khoảng cách từ điểm $ B $ đến mặt phẳng $ \left ( { AHK } \right ) $ bằng $ \frac { m\sqrt { n }\,a } { n }\, $(với $ \frac { m } { n } $ là phân số tối giản), khi đó giá trị của $ m-n $ là
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $ O $ là tâm đáy $ ABCD $; $ I=SO\cap HK $; $ N=AI\cap SC $.
Từ $ BC\perp\left ( { SAB } \right )\Rightarrow BC\perp AH $, suy ra được $ AH\perp\left ( { SBC } \right )\Rightarrow AH\perp SC $
Tương tự, ta suy ra được $ \Rightarrow AK\perp SC $.
Do đó $ SC\perp\left ( { AHK } \right ). $
Dựa vào các tam giác vuông, ta tính được $ SB=a\sqrt { 5 },\,AC=a\sqrt { 6 },\,SC=a\sqrt { 7 }. $
Ta có $ SB\cap\left ( { AHK } \right )=H\Rightarrow \frac { d\left ( { B,\left ( { AHK } \right ) } \right ) } { d\left ( { S,\left ( { AHK } \right ) } \right ) }=\frac { HB } { HS }. $
Xét trong tam giác vuông $ SAB $ vuông tại $ A $, $ AH $ là đường cao.
Áp dụng hệ thức lượng, suy ra $ SH.\,SB=SA ^ { 2 } \Rightarrow \frac { SH } { SB }=\frac { SA ^ { 2 } } { SB ^ { 2 } }=\frac { 1 } { 5 }\Rightarrow \frac { HB } { HS }=4 $
$ \Rightarrow d\left ( { B,\left ( { AHK } \right ) } \right )=4.d\left ( { S,\left ( { AHK } \right ) } \right ) $ (1).
Do $ SC\perp\left ( { AHK } \right ) $ hay $ SN\perp\left ( { AHK } \right ) $, nên $ d\left ( { S,\left ( { AHK } \right ) } \right )=SN $ (2).
Xét trong tam giác vuông $ SAC $ vuông tại $ A $, do $ SC\perp\left ( { AHK } \right ) $ suy ra $ AN\perp SC $hay $ AN $ là đường cao.
Áp dụng hệ thức lượng, suy ra $ SN.SC=SA ^ { 2 } \Rightarrow \frac { SN } { SC }=\frac { SA ^ { 2 } } { SC ^ { 2 } }=\frac { 1 } { 7 }. $
$ \Rightarrow SN=\frac { 1 } { 7 }SC=\frac { a\sqrt { 7 } } { 7 } $ (3).
Từ (1), (2), (3) ta suy ra $ d\left ( { B,\left ( { AHK } \right ) } \right )=\frac { 4\sqrt { 7 }a } { 7 } $.
Khi đó $ m=4;n=7\Rightarrow m-n=-3 $.