Bài tự luận Ôn tập Hình học không gian – Quan hệ vuông góc 11 · Bài 26

Cái lều cần dựng có hình dạng là hình chóp tứ giác đều $ S.ABCD $ với $ SA=270{ \rm{ } }\left ( { cm } \right ) $, góc nhị diện giữa hai nửa mặt phẳng $ \left ( { SAB } \right ) $ và $ \left ( { SCD } \right ) $ tương ứng chứa hai mái lều đối diện bằng $ 55° $.

Khoảng cách giữa hai chân lều liên tiếp cần tìm là độ dài cạnh đáy hình chóp $ S.ABCD $.
Đặt $ AB=x\,\left ( { cm } \right ) $.
Gọi $ M,\,N $ lần lượt là trung điểm của các cạnh $ AB,\,CD $.
Suy ra $ \widehat { MSN }=55°,\,MN=x\,\left ( { cm } \right ) $, $ AM=\frac { x } { 2 }\,\left ( { cm } \right ) $.
Ta có $ \Delta SAB $ cân tại $ S $, $ M $là trung điểm cạnh $ AB $ nên $ \Delta SAM $ vuông tại $ M $.
Suy ra: $ SM=SN=\sqrt { SA ^ { 2 } -AM ^ { 2 } }=\sqrt { 270 ^ { 2 } -\frac { x ^ { 2 } } { 4 } } $.
$ \Delta SMN $ có: $ MN ^ { 2 } =SM ^ { 2 } +SN ^ { 2 } -2.SM.SN.\cos \widehat { MSN } $
$ \Rightarrow x ^ { 2 } =2.\left ( { 270 ^ { 2 } -\frac { x ^ { 2 } } { 4 } } \right )-2.\left ( { 270 ^ { 2 } -\frac { x ^ { 2 } } { 4 } } \right ).\cos55° \\ \Leftrightarrow x ^ { 2 } \left ( { 1+\frac { 1 } { 2 }-\frac { \cos55° } { 2 } } \right )=2.270 ^ { 2 } \left ( { 1-\cos55° } \right ) \\ \Leftrightarrow x ^ { 2 } =\frac { 2.270 ^ { 2 } \left ( { 1-\cos55° } \right ) } { 1+\frac { 1 } { 2 }-\frac { \cos55° } { 2 } } \\ \Rightarrow x\approx 226,4\,\left ( { cm } \right )\Rightarrow x\approx 2264\,\left ( { mm } \right ). $