Bài tập nâng cao · Bài 13
DẠNG 1. CỘNG TRỪ VÉC TƠ
Bài tập nâng cao Tổng và hiệu của hai vectơ · Bài 13
Cho lục giác đều $ABCDEF$ nội tiếp đường tròn tâm $O$, và $M$ là một điểm bất kì. Chứng minh rằng
a) $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}=\overrightarrow0$.
b) $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MF}$.
a) $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}=\overrightarrow0$.
b) $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{ME}=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MF}$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Tâm $O$ của lục giác đều là tâm đối xứng của lục giác nên $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD}=\overrightarrow0$, $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OE}=\overrightarrow0$, $\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OF}=\overrightarrow0$.
Do đó $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}=(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD})+(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OE})+(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OF})=\overrightarrow0$.
b) $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{ME}=(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BA})+(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC})+(\overrightarrow{MF}+\overrightarrow{FE})$
$=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MF}+(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{FE})$
$=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MF}+(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{AO})$
$=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MF}+(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB})$
$=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MF}+\overrightarrow0$
$=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MF}$.
Do đó $\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OD}+\overrightarrow{OE}+\overrightarrow{OF}=(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OD})+(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OE})+(\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{OF})=\overrightarrow0$.
b) $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MC}+\overrightarrow{ME}=(\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{BA})+(\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{DC})+(\overrightarrow{MF}+\overrightarrow{FE})$
$=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MF}+(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{FE})$
$=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MF}+(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{AO})$
$=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MF}+(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB})$
$=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MF}+\overrightarrow0$
$=\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MF}$.