Bài tự luận · Bài 29
Vấn đề 5. Tìm m để hàm số đơn điệu trên các khoảng xác định của nó
Bài tự luận Tính đơn điệu của hàm số · Bài 29
(Đề Tham Khảo - 2017) Hỏi có bao nhiêu số nguyên $m$ để hàm số $y=\left(m^2-1\right)x^3+\left(m-1\right)x^2-x+4$ nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty;+\infty\right)$.
Xem lời giải
Lời giải
TH1: $m=1$. Ta có: $y=-x+4$ là phương trình của một đường thẳng có hệ số góc âm nên hàm số luôn nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Do đó nhận $m=1$.
TH2: $m=-1$. Ta có: $y=-2x^2-x+4$ là phương trình của một đường Parabol nên hàm số không thể nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Do đó loại $m=-1$.
TH3: $m\neq\pm 1$. Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty;+\infty\right)$ $\Leftrightarrow y'\leq 0\,\,\forall x\in\mathbb{R}$, dấu “=” chỉ xảy ra ở hữu hạn điểm trên $\mathbb{R}$.
$\Leftrightarrow 3\left(m^2-1\right)x^2+2\left(m-1\right)x-1\leq 0$, $\forall x\in\mathbb{R}\,\,$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a<0\\ \Delta'\leq 0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}m^2-1<0\\ \left(m-1\right)^2+3\left(m^2-1\right)\leq 0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}m^2-1<0\\ \left(m-1\right)\left(4m+2\right)\leq 0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}-1<m<1\\ -\frac{1}{2}\leq m\leq 1\end{array}\right.\Leftrightarrow -\frac{1}{2}\leq m<1$. Vì $m\in\mathbb{Z}$ nên $m=0$.
Vậy có $2$ giá trị $m$ nguyên cần tìm là $m=0$ hoặc $m=1$.
TH2: $m=-1$. Ta có: $y=-2x^2-x+4$ là phương trình của một đường Parabol nên hàm số không thể nghịch biến trên $\mathbb{R}$. Do đó loại $m=-1$.
TH3: $m\neq\pm 1$. Khi đó hàm số nghịch biến trên khoảng $\left(-\infty;+\infty\right)$ $\Leftrightarrow y'\leq 0\,\,\forall x\in\mathbb{R}$, dấu “=” chỉ xảy ra ở hữu hạn điểm trên $\mathbb{R}$.
$\Leftrightarrow 3\left(m^2-1\right)x^2+2\left(m-1\right)x-1\leq 0$, $\forall x\in\mathbb{R}\,\,$
$\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}a<0\\ \Delta'\leq 0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}m^2-1<0\\ \left(m-1\right)^2+3\left(m^2-1\right)\leq 0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}m^2-1<0\\ \left(m-1\right)\left(4m+2\right)\leq 0\end{array}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{array}{l}-1<m<1\\ -\frac{1}{2}\leq m\leq 1\end{array}\right.\Leftrightarrow -\frac{1}{2}\leq m<1$. Vì $m\in\mathbb{Z}$ nên $m=0$.
Vậy có $2$ giá trị $m$ nguyên cần tìm là $m=0$ hoặc $m=1$.