Bài tự luận · Bài 28
Vấn đề 5. Tìm m để hàm số đơn điệu trên các khoảng xác định của nó
Bài tự luận Tính đơn điệu của hàm số · Bài 28
(Đề Tham Khảo Lần 2 2020) Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ sao cho hàm số $f(x)=\frac{1}{3}x^3+mx^2+4x+3$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có $f'(x)=x^2+2mx+4$.
Hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $f'(x)\geq 0,\,\forall x\in\mathbb{R}$ (Dấu ‘=’ xảy ra tại hữu hạn điểm).
Ta có $f'(x)\geq 0,\,\forall x\in\mathbb{R}\Leftrightarrow \Delta'\leq 0$
$\Leftrightarrow \Delta'=m^2-4\leq 0$
$\Leftrightarrow -2\leq m\leq 2$.
Vì $m\in\mathbb{Z}$ nên $m\in\left\{-2;\,-1;\,0;\,1;\,2\right\}$, vậy có $5$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.
Hàm số đã cho đồng biến trên $\mathbb{R}$ khi và chỉ khi $f'(x)\geq 0,\,\forall x\in\mathbb{R}$ (Dấu ‘=’ xảy ra tại hữu hạn điểm).
Ta có $f'(x)\geq 0,\,\forall x\in\mathbb{R}\Leftrightarrow \Delta'\leq 0$
$\Leftrightarrow \Delta'=m^2-4\leq 0$
$\Leftrightarrow -2\leq m\leq 2$.
Vì $m\in\mathbb{Z}$ nên $m\in\left\{-2;\,-1;\,0;\,1;\,2\right\}$, vậy có $5$ giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.