Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 22
(Sở Nghệ An 2025) Một nhà đầu tư có số vốn là 5 tỷ đồng ($ 5\,000 $ triệu đồng) để phân bổ vào Quỹ cổ phiếu A và quỹ trái phiếu $ { \rm{ B } } $. Các thông tin và điều kiện đầu tư được xác định như sau: Quỹ Cổ phiếu A có tỷ suất sinh lời là $ 17\%/ $năm. Quỹ trái phiếu B có tỷ suất sinh lời là $ 8\%/ $năm. Tổng số tiền đầu tư không vượt quá $ 5\,000 $ triệu đồng. Phải đầu tư ít nhất $ 1\,200 $ triệu đồng vào quỹ trái phiếu $ { \rm{ B } } $. Không đầu tư quá $ 3\,200 $ triệu đồng vào quỹ cổ phiếu $ { \rm{ A } } $. Với các điều kiện trên thì nhà đầu tư có thể đạt được tổng lợi nhuận hàng năm lớn nhất là bao nhiêu triệu đồng (làm tròn đến hàng đơn vị)?
Xem lời giải
Lời giải
Đáp án: 688
Gọi $ x,y $ (triệu đồng) lần lượt là số tiền phân bổ vào cổ phiếu A và quỹ trái phiếu B, $ x\geq 0,y\geq 0 $.
Theo đề bài ta có: $ \left \{ \begin{array}{l} x+y\leq 5000 \\ 0\leq x\leq 3200 \\ y\geq 1200 \end{array} \right. $.
Lợi nhuận hàng năm là: $ F\left ( { x;y } \right )=0,17x+0,08y $.
Ta cần tìm giá trị lớn nhất của hàm $ F\left ( { x;y } \right ) $.
Vẽ các đường thẳng $ d_{ 1 } :x+y=5000 $, $ d_{ 2 } :x=3200 $, $ d_{ 3 } :y=1200 $.
Miền nghiệm của hệ trên là miền tứ giác ABCD.
Giá trị lớn nhất của biểu thức $ F\left ( { x;y } \right )=0,17x+0,08y $ chỉ đạt được tại các điểm$ A\left ( { 0;5000 } \right ),B\left ( { 0;1200 } \right ),\,C\left ( { 3200;1200 } \right ),\,D\left ( { 3200;1800 } \right ) $.
Thay tọa độ các điểm $ A,B,C,D $vào $ F\left ( { x;y } \right )=0,17x+0,08y $ ta được các giá trị lần lượt là $ 400;96;640;688 $.
Vậy $ { \rm{ m } }{ \rm{ a } }{ \rm{ x } }{ \rm{ } }F\left ( { x;y } \right )=688 $ tại $ D\left ( { 3200;1800 } \right ) $. Do đó nhà đầu tư có thể đạt được tổng lợi nhuận hàng năm lớn nhất là $ 688 $ triệu đồng.
