Bài tự luận · Bài 46
Dạng 2. Sử dụng quy tắc cộng để tính xác suất
Bài tự luận Công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập · Bài 46
(CTST11) Một hộp chứa 3 quả bóng xanh và một số quả bóng đỏ có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ra ngẫu nhiên 2 quả bóng từ hộp. Biết rằng xác suất của biến cố "Lấy được 2 quả bóng đỏ" gấp 5 lần xác suất của biến cố "Lấy được 2 quả bóng xanh". Tính xác suất của biến cố "Lấy được 2 quả bóng có cùng màu".
Xem lời giải
Lời giải
Gọi $ n $ là số bóng đỏ có trong hộp. Khi đó, tổng số bóng có trong hộp là $ n+3 $.
Xác suất lấy được 2 quả bóng xanh là: $ \frac { C_{ 3 } ^{ 2 } } { C_{ n+3 } ^{ 2 } } $.
Xác suất lấy được 2 quả bóng đỏ là: $ \frac { C_{ n } ^{ 2 } } { C_{ n+3 } ^{ 2 } } $.
Theo đề bài, ta có:
$ \frac { C_{ n } ^{ 2 } } { C_{ n+3 } ^{ 2 } }=5\cdot \frac { C_{ 3 } ^{ 2 } } { C_{ n+3 } ^{ 2 } }\Leftrightarrow \frac { n(n-1) } { 2 }=15. $
Do $ n $ là số tự nhiên nên $ n=6 $.
Do đó, xác suất của biến cố "Cả 2 quả bóng lấy ra đều có cùng màu” là
$ \frac { C_{ 3 } ^{ 2 } } { C_{ n+3 } ^{ 2 } }+\frac { C_{ n } ^{ 2 } } { C_{ n+3 } ^{ 2 } }=\frac { C_{ 3 } ^{ 2 } } { C_{ 9 } ^{ 2 } }+\frac { C_{ 6 } ^{ 2 } } { C_{ 9 } ^{ 2 } }=\frac { 1 } { 2 }. $
Xác suất lấy được 2 quả bóng xanh là: $ \frac { C_{ 3 } ^{ 2 } } { C_{ n+3 } ^{ 2 } } $.
Xác suất lấy được 2 quả bóng đỏ là: $ \frac { C_{ n } ^{ 2 } } { C_{ n+3 } ^{ 2 } } $.
Theo đề bài, ta có:
$ \frac { C_{ n } ^{ 2 } } { C_{ n+3 } ^{ 2 } }=5\cdot \frac { C_{ 3 } ^{ 2 } } { C_{ n+3 } ^{ 2 } }\Leftrightarrow \frac { n(n-1) } { 2 }=15. $
Do $ n $ là số tự nhiên nên $ n=6 $.
Do đó, xác suất của biến cố "Cả 2 quả bóng lấy ra đều có cùng màu” là
$ \frac { C_{ 3 } ^{ 2 } } { C_{ n+3 } ^{ 2 } }+\frac { C_{ n } ^{ 2 } } { C_{ n+3 } ^{ 2 } }=\frac { C_{ 3 } ^{ 2 } } { C_{ 9 } ^{ 2 } }+\frac { C_{ 6 } ^{ 2 } } { C_{ 9 } ^{ 2 } }=\frac { 1 } { 2 }. $