Bài tập nâng cao · Bài 12
Bài toán chứng minh sự tồn tại của giới hạn tại 1 điểm. Nếu $\lim\limits_{x\to x_0^{-}}f\left( x \right)=\lim\limits_{x\to x_0^{+}}f\left( x \right)=L$ thì tồn tại $\lim\limits_{x\to x_0}f\left( x \right)=L$.
Bài tập nâng cao Giới hạn của hàm số · Bài 12
Tìm giới hạn của các hàm số sau:
a) $f\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{l} \frac{x^{2}-3x+2}{x^{2}-1}\,\,\,khi\,\,x>1 \\ -\frac{x}{2}\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x\leq 1 \end{array} \right.$ tại $x=1$.
b) $f\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{l} \frac{1-\sqrt{\cos 2x}}{\sin^{2}x}\,\,\,khi\,\,x\geq 0 \\ \cos x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x < 0 \end{array} \right.$ tại $x=0$
c) $f\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{l} x^{2}-2x+3\,\,\,khi\,\,x\leq 2 \\ 4x-3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x>2 \end{array} \right.$ tại $x=2$
a) $f\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{l} \frac{x^{2}-3x+2}{x^{2}-1}\,\,\,khi\,\,x>1 \\ -\frac{x}{2}\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x\leq 1 \end{array} \right.$ tại $x=1$.
b) $f\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{l} \frac{1-\sqrt{\cos 2x}}{\sin^{2}x}\,\,\,khi\,\,x\geq 0 \\ \cos x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x < 0 \end{array} \right.$ tại $x=0$
c) $f\left( x \right)=\left\{ \begin{array}{l} x^{2}-2x+3\,\,\,khi\,\,x\leq 2 \\ 4x-3\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,x>2 \end{array} \right.$ tại $x=2$
Xem lời giải
Lời giải
a) Có $\lim\limits_{x\to 1^{-}}f\left( x \right)=\lim\limits_{x\to 1^{-}}\left( -\frac{x}{2} \right)=-\frac{1}{2}$
$\lim\limits_{x\to 1^{+}}f\left( x \right)=\lim\limits_{x\to 1^{+}}\frac{x^{2}-3x+2}{x^{2}-1}=\lim\limits_{x\to 1^{+}}\frac{\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)}{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}=\lim\limits_{x\to 1^{+}}\frac{x-2}{x+1}=-\frac{1}{2}$.
$\Rightarrow \lim\limits_{x\to 1^{-}}f\left( x \right)=\lim\limits_{x\to 1^{+}}f\left( x \right)=-\frac{1}{2}\Rightarrow \lim\limits_{x\to 1}f\left( x \right)=-\frac{1}{2}$
b) Có
$\lim\limits_{x\to 0^{+}}f\left( x \right)=\lim\limits_{x\to 0^{+}}\frac{1-\sqrt{\cos 2x}}{\sin^{2}x}=\lim\limits_{x\to 0^{+}}\frac{1-\cos 2x}{\left( 1+\sqrt{\cos 2x} \right)\sin^{2}x}$
$=\lim\limits_{x\to 0^{+}}\frac{2\sin^{2}x}{\left( 1+\sqrt{\cos 2x} \right)\sin^{2}x}=\lim\limits_{x\to 0^{+}}\frac{2}{\left( 1+\sqrt{\cos 2x} \right)}=1$
$\lim\limits_{x\to 0^{-}}f\left( x \right)=\lim\limits_{x\to 0^{-}}\left( \cos x \right)=1$
$\Rightarrow \lim\limits_{x\to 0^{-}}f\left( x \right)=\lim\limits_{x\to 0^{+}}f\left( x \right)=1\Rightarrow \lim\limits_{x\to 0}f\left( x \right)=1$
c) Có $\lim\limits_{x\to 2^{-}}f\left( x \right)=\lim\limits_{x\to 2^{-}}\left( x^{2}-2x+3 \right)=3$
$\lim\limits_{x\to 2^{+}}f\left( x \right)=\lim\limits_{x\to 2^{+}}\left( 4x-3 \right)=5$
$\Rightarrow \lim\limits_{x\to 2^{-}}f\left( x \right)\neq \lim\limits_{x\to 2^{+}}f\left( x \right)$
Vậy không tồn tại giới hạn của hàm số $f\left( x \right)$ tại $x=2$.
$\lim\limits_{x\to 1^{+}}f\left( x \right)=\lim\limits_{x\to 1^{+}}\frac{x^{2}-3x+2}{x^{2}-1}=\lim\limits_{x\to 1^{+}}\frac{\left( x-1 \right)\left( x-2 \right)}{\left( x-1 \right)\left( x+1 \right)}=\lim\limits_{x\to 1^{+}}\frac{x-2}{x+1}=-\frac{1}{2}$.
$\Rightarrow \lim\limits_{x\to 1^{-}}f\left( x \right)=\lim\limits_{x\to 1^{+}}f\left( x \right)=-\frac{1}{2}\Rightarrow \lim\limits_{x\to 1}f\left( x \right)=-\frac{1}{2}$
b) Có
$\lim\limits_{x\to 0^{+}}f\left( x \right)=\lim\limits_{x\to 0^{+}}\frac{1-\sqrt{\cos 2x}}{\sin^{2}x}=\lim\limits_{x\to 0^{+}}\frac{1-\cos 2x}{\left( 1+\sqrt{\cos 2x} \right)\sin^{2}x}$
$=\lim\limits_{x\to 0^{+}}\frac{2\sin^{2}x}{\left( 1+\sqrt{\cos 2x} \right)\sin^{2}x}=\lim\limits_{x\to 0^{+}}\frac{2}{\left( 1+\sqrt{\cos 2x} \right)}=1$
$\lim\limits_{x\to 0^{-}}f\left( x \right)=\lim\limits_{x\to 0^{-}}\left( \cos x \right)=1$
$\Rightarrow \lim\limits_{x\to 0^{-}}f\left( x \right)=\lim\limits_{x\to 0^{+}}f\left( x \right)=1\Rightarrow \lim\limits_{x\to 0}f\left( x \right)=1$
c) Có $\lim\limits_{x\to 2^{-}}f\left( x \right)=\lim\limits_{x\to 2^{-}}\left( x^{2}-2x+3 \right)=3$
$\lim\limits_{x\to 2^{+}}f\left( x \right)=\lim\limits_{x\to 2^{+}}\left( 4x-3 \right)=5$
$\Rightarrow \lim\limits_{x\to 2^{-}}f\left( x \right)\neq \lim\limits_{x\to 2^{+}}f\left( x \right)$
Vậy không tồn tại giới hạn của hàm số $f\left( x \right)$ tại $x=2$.