Bài tập nâng cao Giới hạn của hàm số · Bài 14

Ta có
$\lim\limits_{x\to 1}\frac{\sqrt{ax+b}+cx}{x^{3}-2x^{2}+x}=-\frac{1}{2}\Leftrightarrow \lim\limits_{x\to 1}\frac{-(c^{2}x^{2}-ax-b)}{x\left( x-1 \right)^{2}\left( \sqrt{ax+b}-cx \right)}=-\frac{1}{2}\,\,\,\,(*)$
Để xảy ra (*) thì điều kiện cần là
$\left\{ \begin{array}{l} -(c^{2}x^{2}-ax-b)=k(x-1)^{2}\,\,\,(k\neq 0) \\ \sqrt{a.1+b}-c\neq 0 \\ \frac{k}{\sqrt{a.1+b}-c}=-\frac{1}{2} \end{array} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} k < 0 \\ \,a=-2k,\,\,b=k\, \\ \sqrt{a+b}-c\neq 0\, \\ \left[ \begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} c=\sqrt{-k} \\ \frac{k}{\sqrt{-2k+k}-\sqrt{-k}}=-\frac{1}{2}\,\,\,(PTVN) \end{array} \right. \\ \left\{ \begin{array}{l} c=-\sqrt{-k} \\ \frac{k}{\sqrt{-2k+k}+\sqrt{-k}}=-\frac{1}{2}\Rightarrow k=-1 \end{array} \right. \end{array} \right.\, \end{array} \right.\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} a=-2k=2 \\ b=k=-1 \\ c=-\sqrt{-k}=-1 \end{array} \right.$
Thử lại: với $a=2,b=-1,\,c=-1$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.