Bài tự luận · Bài 8
Dạng 1. Tính diện tích
Bài tự luận Ứng dụng hình học của tích phân · Bài 8
(KNTT12) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:
a) $ y=e ^ { x } ,y=\sqrt[] { x },x=0,x=1 $;
b) $ y=cosx,y=\frac { 1 } { 2 },x=0,x=\frac { \pi } { 3 } $.
a) $ y=e ^ { x } ,y=\sqrt[] { x },x=0,x=1 $;
b) $ y=cosx,y=\frac { 1 } { 2 },x=0,x=\frac { \pi } { 3 } $.
Xem lời giải
Lời giải
a) Vì $ e ^ { x } \geq 1\geq \sqrt[] { x },∀x\in [0;1] $, nên diện tích cần tính là
$ S=\int _{ 0 }^{ 1 } { \left | { e ^ { x } -\sqrt[] { x } } \right | }dx=\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { e ^ { x } -\sqrt[] { x } } \right ) }dx=\left | { \left ( { e ^ { x } -\frac { 2 } { 3 }x ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }=e-\frac { 5 } { 3 }. $
b) Vì $ cosx\geq \frac { 1 } { 2 },∀x\in \left[ 0;\frac { \pi } { 3 } \right] $, nên diện tích cần tính là
$ S=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 3 } } { \left | { cosx-\frac { 1 } { 2 } } \right | }dx=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 3 } } { \left ( { cosx-\frac { 1 } { 2 } } \right ) }dx=\left | { \left ( { sinx-\frac { 1 } { 2 }x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ \frac { \pi } { 3 } }=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }-\frac { \pi } { 6 }. $
$ S=\int _{ 0 }^{ 1 } { \left | { e ^ { x } -\sqrt[] { x } } \right | }dx=\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { e ^ { x } -\sqrt[] { x } } \right ) }dx=\left | { \left ( { e ^ { x } -\frac { 2 } { 3 }x ^ { \frac { 3 } { 2 } } } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }=e-\frac { 5 } { 3 }. $
b) Vì $ cosx\geq \frac { 1 } { 2 },∀x\in \left[ 0;\frac { \pi } { 3 } \right] $, nên diện tích cần tính là
$ S=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 3 } } { \left | { cosx-\frac { 1 } { 2 } } \right | }dx=\int _{ 0 }^{ \frac { \pi } { 3 } } { \left ( { cosx-\frac { 1 } { 2 } } \right ) }dx=\left | { \left ( { sinx-\frac { 1 } { 2 }x } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ \frac { \pi } { 3 } }=\frac { \sqrt[] { 3 } } { 2 }-\frac { \pi } { 6 }. $