Bài tự luận · Bài 9
Dạng 1. Tính diện tích
Bài tự luận Ứng dụng hình học của tích phân · Bài 9
(CTST12) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $ y=f(x)=x ^ { 3 } -2x ^ { 2 } +x $, trục hoành và hai đường thẳng $ x=-1,x=1 $.
Xem lời giải
Lời giải
Diện tích cần tìm là $ S=\int _{ -1 }^{ 1 } { \left | { x ^ { 3 } -2x ^ { 2 } +x } \right | }dx $.
Ta có $ x ^ { 3 } -2x ^ { 2 } +x=0\Leftrightarrow x(x-1) ^ { 2 } =0\Leftrightarrow x=0 $ hoặc $ x=1 $.
Với $ x\in [-1;0] $ thì $ f(x)\leq 0 $; với $ x\in [0;1] $ thì $ f(x)\geq 0 $.
Vậy $ S=\int _{ -1 }^{ 1 } { \left | { x ^ { 3 } -2x ^ { 2 } +x } \right | }dx=\int _{ -1 }^{ 0 } { \left ( { -x ^ { 3 } +2x ^ { 2 } -x } \right ) }dx+\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x ^ { 3 } -2x ^ { 2 } +x } \right ) }dx $
$ =\left | { \left ( { -\frac { x ^ { 4 } } { 4 }+\frac { 2x ^ { 3 } } { 3 }-\frac { x ^ { 2 } } { 2 } } \right ) } \right ._{ -1 } ^{ 0 }+\left | { \left ( { \frac { x ^ { 4 } } { 4 }-\frac { 2x ^ { 3 } } { 3 }+\frac { x ^ { 2 } } { 2 } } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }=\frac { 17 } { 12 }+\frac { 1 } { 12 }=\frac { 3 } { 2 }{ \rm{ . } }{ \rm{ } } $
Ta có $ x ^ { 3 } -2x ^ { 2 } +x=0\Leftrightarrow x(x-1) ^ { 2 } =0\Leftrightarrow x=0 $ hoặc $ x=1 $.
Với $ x\in [-1;0] $ thì $ f(x)\leq 0 $; với $ x\in [0;1] $ thì $ f(x)\geq 0 $.
Vậy $ S=\int _{ -1 }^{ 1 } { \left | { x ^ { 3 } -2x ^ { 2 } +x } \right | }dx=\int _{ -1 }^{ 0 } { \left ( { -x ^ { 3 } +2x ^ { 2 } -x } \right ) }dx+\int _{ 0 }^{ 1 } { \left ( { x ^ { 3 } -2x ^ { 2 } +x } \right ) }dx $
$ =\left | { \left ( { -\frac { x ^ { 4 } } { 4 }+\frac { 2x ^ { 3 } } { 3 }-\frac { x ^ { 2 } } { 2 } } \right ) } \right ._{ -1 } ^{ 0 }+\left | { \left ( { \frac { x ^ { 4 } } { 4 }-\frac { 2x ^ { 3 } } { 3 }+\frac { x ^ { 2 } } { 2 } } \right ) } \right ._{ 0 } ^{ 1 }=\frac { 17 } { 12 }+\frac { 1 } { 12 }=\frac { 3 } { 2 }{ \rm{ . } }{ \rm{ } } $