Bài tự luận · Bài 3
Dạng 1. Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng
Bài tự luận Khoảng cách · Bài 3
(CTST11) Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy là tam giác đều cạnh $2a$. Cạnh bên $SA$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$. Góc giữa cạnh bên $SC$ và mặt đáy bằng $30^{\circ}$. Gọi $I$ là trung điểm của $BC$. Tính khoảng cách từ điểm $A$ đến đường thẳng:
a) $SB$;
b) $SC$;
c) $SI$.
a) $SB$;
b) $SC$;
c) $SI$.
Xem lời giải
Lời giải
Ta có: $SA\perp(ABC)$ nên $(SC,(ABC))=(SC,AC)=\widehat{SCA}=30^{\circ}$.
Xét tam giác $SAC$ vuông tại $A$, ta có:
$SA=AC\tan 30^{\circ}=\frac{2a}{\sqrt{3}}=\frac{2a\sqrt{3}}{3}.$
a) Vẽ $AH\perp SB(H\in SB)$, ta có $d(A,SB)=AH$.
Xét tam giác $SAB$ vuông tại $A$, ta có:
$\frac{1}{AH^{2}}=\frac{1}{SA^{2}}+\frac{1}{AB^{2}}=\frac{3}{4a^{2}}+\frac{1}{4a^{2}}=\frac{1}{a^{2}}\Rightarrow AH=a$.
b) Vẽ $AK\perp SC(K\in SC)$, ta có $d(A,SC)=AK$.
Xét tam giác $SAC$ vuông tại $A$, ta có:
$\frac{1}{AK^{2}}=\frac{1}{SA^{2}}+\frac{1}{AC^{2}}=\frac{3}{4a^{2}}+\frac{1}{4a^{2}}=\frac{1}{a^{2}}\Rightarrow AK=a$.
c) Vẽ $AN\perp SI(N\in SI)$, ta có $d(A,SI)=AN$.
Vì $ABC$ là tam giác đều cạnh $2a$ nên $AI=a\sqrt{3}$.
Xét tam giác $SAI$ vuông tại $A$, ta có:
$\frac{1}{AN^{2}}=\frac{1}{SA^{2}}+\frac{1}{AI^{2}}=\frac{3}{4a^{2}}+\frac{1}{3a^{2}}=\frac{13}{12a^{2}}\Rightarrow AN=\frac{2a\sqrt{39}}{13}$.