Tứ diện $ABCD$. $M,N,P,Q,R,S$ là trung điểm $AB$, $CD$,$BC$, $AD$, $AC$, $BD$. Chứng minh $MN,PQ,RS$ đồng quy tại $\frac{1}{2}$ mỗi đường.

Question

DẠNG 1. CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 1. Tính chất đường trung bình [IMAGE:question_images/11-11. HAI DUONG THANG SONG SONG/F. BAI TAP NANG CAO/image1.png] $M$, $N$ là trung điểm của $AB$,$AC$. Khi đó $MN\parallel=\frac{1}{2}BC$. 2. Định lý Ta-lét [IMAGE:question_images/11-11. HAI DUONG THANG SONG SONG/F. BAI TAP NANG CAO/image7.png] $MN\parallel BC\Rightarrow \frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$. 3. Tính chất cạnh đối của hình bình hành [IMAGE:question_images/11-11. HAI DUONG THANG SONG SONG/F. BAI TAP NANG CAO/image9.png] Hai phương pháp để chứng minh tứ giác là hình bình hành: *) Chứng minh: $\left\{ \begin{array}{l} AB\parallel CD \ AB=CD \end{array} ight.$. *) Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Tứ diện $ABCD$. $M,N,P,Q,R,S$ là trung điểm $AB$, $CD$,$BC$, $AD$, $AC$, $BD$. Chứng minh $MN,PQ,RS$ đồng quy tại $\frac{1}{2}$ mỗi đường.

Beedemy · Accepted Answer

Lời giải: [IMAGE:question_images/11-11. HAI DUONG THANG SONG SONG/F. BAI TAP NANG CAO/image177.png] *) $\Delta ABC$: $MP$ là đường trung bình $\Rightarrow MP\parallel AC$, $MP=\frac{1}{2}AC$ $\left( 1 \right)$. *) $\Delta ACD$: $NQ$ là đường trung bình $\Rightarrow NQ\parallel AC$, $NQ=\frac{1}{2}AC$ $\left( 2 \right)$. *) Từ (1) và (2) $\Rightarrow MP\parallel=NQ\Rightarrow MPNQ$ là hình bình hành. $\Rightarrow MN,PQ$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (3). *) $\Delta ABC$: $PR$ là đường trung bình $\Rightarrow PR\parallel AB$, $PR=\frac{1}{2}AB$ $\left( 4 \right)$. *) $\Delta ABD$: $QS$ là đường trung bình $\Rightarrow QS\parallel AB$, $QS=\frac{1}{2}AB$ $\left( 5 \right)$. *) Từ (4) và (5) $\Rightarrow PR\parallel=QS\Rightarrow PRQS$ là hình bình hành. $\Rightarrow RS,PQ$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (6). Từ (3) và (6) suy ra $MN,PQ,RS$ đồng quy tại $\frac{1}{2}$ mỗi đường.

Bài tập nâng cao Hai đường thẳng song song · Bài 8