Bài tự luận · Bài 24
Dạng 2. Giải bất phương trình bậc hai một ẩn Phương pháp: Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai hoặc đồ thị.
Bài tự luận Dấu của tam thức bậc hai · Bài 24
(KNTT10) Giải các bất phương trình sau:
a) $3x^2-36x+108>0$;
b) $-x^2+2x-2\geq 0$;
c) $x^4-3x^2+2\leq 0$
d) $\frac{1}{x^2-x+1}\leq \frac{1}{2x^2+x+2}$.
a) $3x^2-36x+108>0$;
b) $-x^2+2x-2\geq 0$;
c) $x^4-3x^2+2\leq 0$
d) $\frac{1}{x^2-x+1}\leq \frac{1}{2x^2+x+2}$.
Xem lời giải
Lời giải
a) Tam thức $3x^2-36x+108$ có hệ số $a=3>0$ và $\Delta'=0$ nên $3x^2-36x+108>0$ với mọi $x\neq 6$ và bằng 0 tại $x=6$. Suy ra tập nghiệm của bất phương trình là $\mathbb{R}\setminus \{6\}$.
b) Tam thức $-x^2+2x-2$ có hệ số $a=-1<0$ và biệt thức thu gọn $\Delta'=-1<0$ nên $-x^2+2x-2<0$ với mọi $x$. Suy ra bất phương trình vô nghiệm.
c) Đây là bất phương trình trùng phương nên nếu đặt $t=x^2\geq 0$ thì ta được $t^2-3t+2\leq 0$. Từ đó $1\leq t\leq 2$ hay $1\leq x^2\leq 2$.
Giải bất phương trình $1\leq x^2$ ta được $x\leq -1$ hoặc $x\geq 1$.
Giải bất phương trình $x^2\leq 2$ ta được $-\sqrt{2}\leq x\leq \sqrt{2}$.
Kết hợp nghiệm ta được tập nghiệm của bất phương trình là $[-\sqrt{2};-1]\cup[1;\sqrt{2}]$.
d) Dễ thấy $x^2-x+1>0$ với mọi $x$ (vì $a=1>0$ và biệt thức $\Delta$ âm); $2x^2+x+2>0$ với mọi $x$ (vì $a=2>0$ và biệt thức $\Delta$ âm). Do đó ta có thể nhân chéo để được bất phương trình $2x^2+x+2\leq x^2-x+1$ hay $x^2+2x+1\leq 0$. Tam thức $x^2+2x+1$ có hệ số $a=1>0$ và biệt thức $\Delta=0$ nên $x^2+2x+1>0$ với mọi $x\neq -1$ và bằng 0 tại $x=-1$. Suy ra tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $\{-1\}$.
b) Tam thức $-x^2+2x-2$ có hệ số $a=-1<0$ và biệt thức thu gọn $\Delta'=-1<0$ nên $-x^2+2x-2<0$ với mọi $x$. Suy ra bất phương trình vô nghiệm.
c) Đây là bất phương trình trùng phương nên nếu đặt $t=x^2\geq 0$ thì ta được $t^2-3t+2\leq 0$. Từ đó $1\leq t\leq 2$ hay $1\leq x^2\leq 2$.
Giải bất phương trình $1\leq x^2$ ta được $x\leq -1$ hoặc $x\geq 1$.
Giải bất phương trình $x^2\leq 2$ ta được $-\sqrt{2}\leq x\leq \sqrt{2}$.
Kết hợp nghiệm ta được tập nghiệm của bất phương trình là $[-\sqrt{2};-1]\cup[1;\sqrt{2}]$.
d) Dễ thấy $x^2-x+1>0$ với mọi $x$ (vì $a=1>0$ và biệt thức $\Delta$ âm); $2x^2+x+2>0$ với mọi $x$ (vì $a=2>0$ và biệt thức $\Delta$ âm). Do đó ta có thể nhân chéo để được bất phương trình $2x^2+x+2\leq x^2-x+1$ hay $x^2+2x+1\leq 0$. Tam thức $x^2+2x+1$ có hệ số $a=1>0$ và biệt thức $\Delta=0$ nên $x^2+2x+1>0$ với mọi $x\neq -1$ và bằng 0 tại $x=-1$. Suy ra tập nghiệm của bất phương trình đã cho là $\{-1\}$.