Anh A vay tiền ngân hàng $ 1 $ tỷ đồng theo phương thức trả góp (chịu lãi số tiền chưa trả) với lãi suất $ 0,5\% $/ tháng. Nếu cuối mỗi tháng bắt đầu từ tháng thứ nhất anh A trả $ 30 $ triệu đồng thì sau bao nhiêu tháng anh A trả hết nợ?

Lời giải Gọi $a$ là số tiền vay, $r$ là lãi suất trên một tháng, $m$ là số tiền hàng tháng trả. Số tiền nợ sau tháng thứ nhất là: $$ N_{1} = a(1 + r) - m $$ Số tiền nợ sau tháng thứ hai là: $$ N_{2} = N_{1}(1 + r) - m = a(1 + r)^{2} - m(1 + r) - m $$ Số tiền nợ sau tháng thứ ba là: $$ N_{3} = N_{2}(1 + r) - m = a(1 + r)^{3} - m(1 + r)^{2} - m(1 + r) - m $$ Số tiền nợ sau $n$ tháng là: $$ N_{n} = a(1 + r)^{n} - m(1 + r)^{n-1} - m(1 + r)^{n-2} - \dots - m(1 + r) - m = a(1 + r)^{n} - m \cdot \frac{(1 + r)^{n} - 1}{r} $$ Vì sau $n$ tháng anh A trả hết nợ nên $N_{n} = 0$, tương đương với: $$ a(1 + r)^{n} - m \cdot \frac{(1 + r)^{n} - 1}{r} = 0 $$ Thay các số liệu $a = 10^{9}$, $r = 0,005$, $m = 30 \cdot 10^{6}$, ta có: $$ 10^{9} \cdot (1 + 0,005)^{n} - 30 \cdot 10^{6} \cdot \frac{(1 + 0,005)^{n} - 1}{0,005} = 0 $$ $$ \Leftrightarrow 1000 \cdot 1,005^{n} - 30 \cdot \frac{1,005^{n} - 1}{0,005} = 0 $$ $$ \Leftrightarrow 1000 \cdot 1,005^{n} - 6000 \cdot \Big(1,005^{n} - 1\Big) = 0 $$ $$ \Leftrightarrow 5 \cdot 1,005^{n} = 6 \Leftrightarrow n = \log_{1,005} \frac{6}{5} \approx 36,55 $$ Vậy sau $37$ tháng thì anh A trả hết nợ.