Bài tự luận Một số bài toán thuộc chuyên đề Toán học 10–11–12 · Bài 22

Gọi $ X $ là số điểm Minh nhận được. Số điểm trung bình mà Minh nhận được là $ E(X) $.
Gọi $ A $ là biến cố: "Minh trả lời đúng câu hỏi loại l"; $ B $ là biến cố: "Minh trả lời đúng câu hỏi loại II". Ta có $ P(A)=0,8;P(B)=0,6 $.
- Vòng 1: Minh bốc ngẫu nhiên một câu hỏi loại I. Có hai khả năng:
- Nếu trả lời sai thì Minh nhận 0 điểm. Cuộc chơi kết thúc tại đây. Ta có $ \{X=0\}= \bar A $. Do đó $ P(X=0)=P( \bar A)=1-P(A)=1-0,8=0,2. $
- Nếu trả lời đúng thì Minh nhận 20 điểm và Minh sẽ bước vào vòng 2.
- Vòng 2: Minh bốc ngẫu nhiên một câu hỏi loại II. Khi đó có hai khả năng:
+Nếu trả lời sai, Minh không có điểm và phải dừng cuộc chơi với tổng số điểm nhận được là: $ 20+0=20 $ (điểm).
Ta có $ \{X=20\}=A \bar B $. Theo giả thiết $ A $ và $ B $ là hai biến cố độc lập nên $ A $ và $ \bar B $ cũng độc lập. Theo công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập ta có:
$ P(X=20)=P(A \bar B)=P(A)\cdot P( \bar B)=0,8\cdot (1-0,6)=0,32. $
+ Nếu trả lời đúng Minh nhận 80 điểm. Cuộc thi kết thúc tại đây và tổng số điểm Minh nhận được là: $ 20{ \rm{ } }{ \rm{ + } }{ \rm{ } }80{ \rm{ } }{ \rm{ = } }{ \rm{ } }100 $(điểm).
Ta có $ \{X=100\}=AB $. Theo giả thiết $ A $ và $ B $ là hai biến cố độc lập. Theo công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập ta có: $ P(X=100)=P(AB)=P(A)\cdot P(B)=0,8\cdot 0,6=0,48. $
Bảng phân bố xác suất của $ X $:
$ X $ 0 20 100
$ P $ 0,2 0,32 0,48
Từ đó $ E(X)=0\cdot 0,2+20\cdot 0,32+100\cdot 0,48=54,4 $.
Vậy trung bình Minh được 54,4 điểm.