Bài tự luận · Bài 15
Dạng 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số
Bài tự luận Hàm số hữu tỉ · Bài 15
(CTST12) Cho hàm số $y=\frac{x^2+2x-m}{x-1}$ ($m$ là tham số).
a) Tìm $m$ để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị.
b) Chứng tỏ rằng khi $m=2$, hàm số có hai điểm cực trị. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số này.
a) Tìm $m$ để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị.
b) Chứng tỏ rằng khi $m=2$, hàm số có hai điểm cực trị. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số này.
Xem lời giải
Lời giải
Tập xác định: $D=\mathbb{R}\setminus\{1\}$.
Đạo hàm $y'=\frac{x^2-2x+m-2}{(x-1)^2}$ không xác định khi $x=1$.
a) Đồ thị hàm số đã cho có hai cực trị khi và chỉ khi phương trình $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt.
Ta cần có: $\Delta>0\Leftrightarrow 3-m>0\Leftrightarrow m<3$.
Đồ thị hàm số đã cho có hai cực trị khi $m<3$.
b) Rõ ràng $m=2$ thoả mãn điều kiện $m<3$ nên khi đó hàm số có hai cực trị.
Với $m=2$, ta có $y=\frac{x^2+2x-2}{x-1}$ và $y'=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}$.
Phương trình $y'=0$ có hai nghiệm là $x_1=0,x_2=2$.
Với $x_1=0$ thì $y_1=2$; với $x_2=2$ thì $y_2=6$.
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là $y=2x+2$.
Đạo hàm $y'=\frac{x^2-2x+m-2}{(x-1)^2}$ không xác định khi $x=1$.
a) Đồ thị hàm số đã cho có hai cực trị khi và chỉ khi phương trình $y'=0$ có hai nghiệm phân biệt.
Ta cần có: $\Delta>0\Leftrightarrow 3-m>0\Leftrightarrow m<3$.
Đồ thị hàm số đã cho có hai cực trị khi $m<3$.
b) Rõ ràng $m=2$ thoả mãn điều kiện $m<3$ nên khi đó hàm số có hai cực trị.
Với $m=2$, ta có $y=\frac{x^2+2x-2}{x-1}$ và $y'=\frac{x^2-2x}{(x-1)^2}$.
Phương trình $y'=0$ có hai nghiệm là $x_1=0,x_2=2$.
Với $x_1=0$ thì $y_1=2$; với $x_2=2$ thì $y_2=6$.
Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là $y=2x+2$.